7年级第05讲代数式

第5讲代数式知识方法扫描用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母，像-1，0，a，x也是代数式，这里“用运算符号连结”一般指加、减、乘、除、乘方。将日常生活的语言转化为数学语言，就是要会列出代数式；另一方面也要理解代数式的含义，会求代数式的值。用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．经典例题解析例1(1985年武汉市初中一年级数学通讯赛试题)a,b是有理数,(1)若a+b=0,则a,b互为________.(2)若ab=0,则a,b至少________.(3)若ab=1,则a,b________.(4)若ab0,则a,b________.(5)若a2+b2=0,则a,b________.解(1)若a+b=0,则a,b互为相反数；(2)若ab=0,则a,b至少有一个等于零；(3)若ab=1,则a,b互为倒数；(4)若ab0,则a,b的符号相同；(5)若a2+b2=0,则a,b都等于零。评注用数学语言——代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学一项重要的基本功。要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力。例2（1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（）（A）%2pq（B）()%mpnq（C）%mpnqpq（D）%mpnqmn解浓度为p%的盐水m公斤中含盐m×p%公斤，浓度为q%的盐水n公斤中含盐n×q%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(m×p%+n×q%)公斤，所以浓度是%mpnqmn。故选D。例3．（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题）如图是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形分别是一对长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形．则矩形中未涂阴影部分的面积为（）（A）ab-(a+b)c．（B）ab-(a-b)c．（C）(a-c)(b-c)．（D）(a-c)(b+c)．ccab解：将图形沿左右、上下平移后，可以得到一个长为(a-c)，宽为(b-c)的长方形，其面积为(a-c)(b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积。故选（C）。例4.．（2002年河南省初二数学竞赛试题）a表示一个两位数，b表示一个四位数，把a放在b的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（）(A)ab(B)10000a+b(C)100a+10000b(D)100a+b解．依题意，在这个六位数中，a的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b，选(B)评注：一个n位自然数的十进制表示法一般形式，是122321110101010aaaaannnn其中ai是一位数字.有时也根据需要写成100a+b（b是两位数）,1000a+b(b是三位数)等形式例5(2004年“希望杯”数学邀请赛试题)民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(ba)时，所交费用为Q=10b-200(元)．(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q．解(1)当携带的物品重量b=35千克时，应交的费用为1502001035Q（元）．所以小明应交159元．(2)设小王携带了x千克物品，则,10020010x解得.30x因此，小王携带了30千克物品．(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则,020010a解得.20a所以超重部分的质量为,20babm即.20mb故所交费用为mmbQ10200)20(1020010（元）．例6.(2005年杭州市江干区数学小能手展示活动7年级试题)设多项式Mdcxbxax35，已知当x＝0时，5M；当3x时，7M，则当3x时，求M的值.12．解由题意，当x＝0时，dcxbxax35=－5，所以d=－5；当3x时，dcxbxax35=7，即75)3()3()3(35cba，所以，1233335cba当3x时，M=17512533335cba例7（第18届“迎春杯”数学竞赛试题）如果210aa,那么3222aa的值为.解法1∵a2+a=1,于是我们有3232222222()2()2()2123.aaaaaaaaaaa解法2∵a2=1-a,于是有3222222(2)2(1)(2)22244(1)413.aaaaaaaaaaaaaa评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法,这两种方法在整式恒等变形中常用.例8(2006年第二届“希望杯”全国数学大赛8年级试题)如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）：先使原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是_________。解3n+2由题意知，正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系是：①当正半轴上的整数是3的倍数时，对应着圆周上数字0；②当正半轴上的整数被3除余1时，对应着圆周上数字1；③当正半轴上的整数被3除余2时，对应着圆周上数字2。所以数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是3n+2。原版赛题传真同步训练一选择题1．（1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）图中表示阴影部分面积的代数式是（）（A）ad+bc．（B）c(b-d)+d(a-c)．（C）ad+c(b-d)．（D）ab-cd．1．C．将图形分割成一个长为a宽为d的矩形，与一个长为c宽为(b-d)的矩形，则阴影部分面积等于ad+c(b-d)．2．（1990年汉江杯数学竞赛试题）M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边组成一个五位数，那么这个五位数应是（）(A)M+N(B)MN(C)100000M+N(D)1000M+N2．D3．（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题）。M表示a与b的和的平方，N表示a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的值是（）（A）-28．（B）-70．（C）42．（D）0．3．BM=(a+b)2=(7-5)2=4;N=a2+b2=77+(-5)2=74,M-N=-704．（2003年第1届创新杯数学邀请赛试题）已知y=ax3+bx-5中，当x=-3时，y=7,那么当x=3时，y的值是（）.(A)3(B)7(C)–17(D)74.C将x=-3，y=7代入y=ax3+bx-5,得7=-27a-b-5,于是27a+b=-12当x=3时，y=27a+3b-5=-12-5=-17.5．（2004年第15届“希望杯”数学邀请赛试题）当x＝－1时，代数式2ax3－3bx＋8的值为18，这时，代数式9b－6a＋2＝（）（A）28（B）－28（C）32（D）－325．C将x＝－1代入代数式，有-2a+3b+8=18,3b-2a=10,于是9b－6a＋2=3(3b-2a)+2=3×10+2=32二填空题6．（第14届“迎春杯”数学竞赛试题）当x=m时,多项式x2+998x－999的值等于零,那么多项多m2+998m+999的值等于.6.1998当x=m时,多项式x2+998x-999的值为零,即m2+998m-999=0,∴m2+998m=999.∴m2+998m+999=999+999=1998.7．（第16届“迎春杯”数学竞赛试题）已知当x=1时,代数式3324axbx的值为8,代数式315axbx的值为－14,那么当x＝－1时,代数式2546axbx的值为.7.20由已知,得3248,1514.abab解得2,1.ab∴当a=2,b=1,x＝－1时,2254652(1)41(1)620.axbx8．（2003年第1届创新杯数学邀请赛试题）某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租的头三天每天收0.8元,从第四天起每天收0.4元，那么一张光盘租出了n天应收租金元.8．0.8n(1≤n≤3)或0.4n+1.2(n3).当n=1,2,3时，租金为0.8n（元）；当n3时，租金为0.8×3+0.4(n-3)=0.4n+1.2（元）9．（2000年第十五届江苏省初中数学竞赛试题）若（m+n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要_______天。（假定每个人的工作效率相同）9．nmnm)(每人每天完成工程的mnm)1（，n个人每天完成工程的mnmn)（，n个人完成这项工程需要1÷mnmn)（=nmnm)(天10．（第13届“希望杯”邀请赛试题）对于整式,2002234562345xxxxx给定x的一个数值后，如果李平按四则运算的规则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法．小梅同学说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次”，小妹同学的说法是的（填“对”或“错”）.10．对。因为2002234562345xxxxx2002)23456(234xxxxx2002]2)3456[(23xxxxx2002}2]3)456{[(2xxxxx.2002}2]3)4)56{[((xxxxx又等式右边的式子只需计算5次乘法和5次加法．故小梅同学的说法是对的．三解答题11.(第1届莫斯科数学奥林匹克试题)火车通过观察者身边需要t1秒钟，通过l米长的桥需要t2秒钟，火车通过桥梁的时间从车头进入桥梁算起至车尾离开桥梁为止．试求火车的长度和速度．11.长度121ttltL米，速度12ttlv米／秒．12．（2004年《学习报》第九届数学公开赛试题）某同学解一道代数题：求代数式23456789345678910xxxxxxxx12x当1x时的值．由于将式中某一项前的“+”号错看为“-”号，误得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号?12.当1x时，正确的答案是-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5，比错误的答案小7-（-5）=12，可见看错符号的一项当1x时的值本应得-6的，错算为6了，所以这一项是6x5,即这位同学看错了5次项前的符号。13．（2004年全国初中数学竞赛湖北预赛）如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形。操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按每二次分割的作法进行下去。（1）请你设计出两种符合题意的分割方案图；（2）设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积（S）填入下表：分割次数（n）123…最小直角三角形的面积（S）214a…（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来。13.（1）方案1方案2（2）2211,1664aa。（3）214nSa（N≥1，且n