CH7习题课

微分方程的习题课一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第十二章四、微分方程的应用三、两类二阶微分方程的解法高等数学2目录上页下页返回结束一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程高等数学3目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解;01)1(32xyeyy提示:(1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331高等数学4目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)2(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为高等数学5目录上页下页返回结束32232336)4(yyxyxxy方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程.xyu令xQyxyP6高等数学6目录上页下页返回结束例2.求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(22uxuxulnddxyyxxxy2ln21dd3(伯努利方程)2yz令(分离变量方程)原方程化为高等数学7目录上页下页返回结束令y=utyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令t=x–1,则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为高等数学8目录上页下页返回结束例3.求下列方程的通解:d(1)tan5dyxyx提示:(1)(2)(sin1)dcosd0yxxxydcosd5sinyxxyx(分离变量方程)法一：原方程化为积分得5xCysindcot5cotdyyxxx(一阶线性方程)法二：原方程化为高等数学9目录上页下页返回结束(2)xyPsin方程为全微分方程,法一：xQ分项组合得(sindcosd)d0yxxxyxd(cos)0yxxCxxycosdtansecdyyxxx(一阶线性方程)法二：原方程化为,sin1xyPxQcos即通解为高等数学10目录上页下页返回结束例4.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf高等数学11目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22高等数学12目录上页下页返回结束例5.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,h提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸),(ab)0,(aaabyxAo则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为高等数学13目录上页下页返回结束定解条件a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鸭子的实际运动速度为(求解过程参考P273例3).0hyxyxddyxyxba12(齐次方程)b0PObb,dd,ddtytxvbavhPabyxAo2222,yxybyxxb2222,yxyyxx高等数学14目录上页下页返回结束三、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(逐次积分求解高等数学15目录上页下页返回结束2.二阶线性微分方程的解法),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解1)齐次方程:高等数学16目录上页下页返回结束2)非齐次方程:i)()xmypyqyPxe为特征方程的k(＝0,1,2)重根,xmkexQxy)(*则设特解为ii)[()cos()sin]xlnypyqyePxxPxx为特征方程的k(＝0,1)重根,ixkexy*则设特解为]sin)(~cos)([xxRxxRmm高等数学17目录上页下页返回结束xxCxCysincos21特征根:,2,1ir例6.求微分方程2,xxyy提示:故通解为2,04xyy满足条件解满足xyy,00xy00xy处连续且可微的解.设特解:,BAxy代入方程定A,B,得,0,000xxyy利用得高等数学18目录上页下页返回结束处的衔接条件可知,04yy解满足故所求解为y2221,2cos)1(2sinxxxxCxCy2cos2sin21其通解:定解问题的解:2221,2cos)1(2sinxxxy高等数学19目录上页下页返回结束例7.且满足方程0()sin()()dxfxxxtftt.)(xf求提示:,)()(sin)(00xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxfxtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得高等数学20目录上页下页返回结束思考:设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案:高等数学21目录上页下页返回结束的解.例8.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件0)dd)(sin(dd322yxxyyx数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)高等数学22目录上页下页返回结束0)(dddd222yyxyxy222)(ddddyyxyyx3)(yy代入原微分方程得xyysin①(2)方程①的对应齐次方程的通解为xxeCeCY21设①的特解为,sincosxBxAy代入①得A＝0,,21B,sin21xy故从而得①的通解:高等数学23目录上页下页返回结束xeCeCyxxsin2121由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为xeeyxxsin21高等数学24目录上页下页返回结束例9.设函数具有连续二阶导数,而22222xzzezxy解:xzfeyxsin满足求设函数22xxxzfeyeyfeyxsinsinsinxzfeyycos22xxxzfeyeyfeyycoscos(sin)高等数学25目录上页下页返回结束所以22222xzzfexy2xez即ff0ff或特征方程特征根所以12xxfuCeCe()高等数学26目录上页下页返回结束例10.设函数内具有连续二阶导数,为全微分方程,求方程的通解.20xyxyfxydxfxxydy[()()][()]且解:PQyx由得即这是一个二阶线性非齐次方程，特征方程高等数学27目录上页下页返回结束特征根齐次方程的通解为12FxCxCx()cossin假设方程(1)的特解为2fxaxbxc()代入方程(1)，得所以2122fxCxCxx()cossin即22fxx()由得所以222fxxxx()cossin高等数学28目录上页下页返回结束那么原全微分方程，222Pxyxyyxxx()(cossin)222Qxxxxysincos,0,000yx取则有00xuxyx(,)d221222yxyxxyxysincos因此原方程的通解为2022yxxxxydy(sincos)221222yxyxxyxyCsincos高等数学29目录上页下页返回结束四、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义高等数学30目录上页下页返回结束例6.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm00dd,vthRht②,0v为(G为引力系数)则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R③高等数学31目录上页下页返回结束),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程②,得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得ChMGv221利用初始条件③,得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到高等数学32目录上页下页返回结束为使,0v应满足0vRMGv20因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,)sm81.9(22ggmhmMG即,2gRMG故④代入④即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为skm2.11高等数学33目录上页下页返回结束出发，速度大小为2v,方向始终指向物体A,求物体B例7.常数v，方向与y轴正向相同；物体B从原点与A同时解:设物体B的运动轨迹为已知物体A从点(1,0)出发,其运动速度大小为运动轨迹.yyx().在时刻t,B位于(x,y)处，A位于(1,vt).由题设，得1dyvtydxx2021xvtydxyxAo(x,y)(1,vt)高等数学34目录上页下页返回结束两式小去t,得201112xxyydxy()上式两端对x求导，得21112xyy()即求初值问题21112xyy()0000xxyy,令ypx(),得21112xpp()分离变量，积分得2111Cppx高等