chapter03(上)量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量引言第三章量子力学中的力学量第三章量子力学中的力学量引言引言本章将讨论力学量怎样用算符来表示，以及引进算符后，量子力学中的一般规律所取的形式。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.1、算符的定义3.1、表示力学量的算符3.1.1、算符的定义算符的定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符的表示：为强调算符的特点，通常在算符上方加“”号，但在不引起误会的地方，也常把“”省略。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.1、算符的定义例如：ˆF,ˆP,ddx,,x等，它们都是算符。对任意函数u和v，ˆFuv，ddx是微商算符，duvdx是开方算符，u=vx表示相乘，xu=v第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质3.1.2、算符的基本性质（1）单位算符如果算符ˆI作用到任意函数u上，u不变，即ˆIuu，则称ˆI为单位算符。（2）零算符如果算符ˆ0作用到任意函数u上，有ˆ00u，则称ˆ0为零算符。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（3）算符相等如果算符ˆF和ˆG作用到任意函数u，且ˆˆFuGu，则称算符ˆF和ˆG相等，ˆˆFG。（4）算符之和对于任意函数u，(ˆF+ˆG)u=ˆFu+ˆGu，交换律，ˆˆˆˆFGGF。结合律，ˆˆˆˆˆˆ()()FGMFGM。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（5）算符乘积ˆˆˆˆ()FGuFGu交换律（不满足）对任意函数u，若ˆˆˆˆ()()FGuGFu，称ˆF和ˆG不对易；对任意函数u，若ˆˆˆˆ()()FGuGFu，称ˆF和ˆG对易。结合律ˆˆˆˆˆˆ()()FGMFGM第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（6）算符的对易关系（6.1）对易子（式）：ˆˆˆˆˆˆ[,]ABABBA。如果ˆA和ˆB对易，则ˆˆ[,]0AB，(这里的0实际指ˆ0)。如果ˆA和ˆB不对易，则ˆˆ[,]0AB。（6.2）反对易子（式）：ˆˆˆˆˆˆ[,]ABABBA。如果ˆA和ˆB反对易，则ˆˆ[,]0AB。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（6.3）对易子（式）满足的代数关系ˆˆˆˆ[,][,]ABBA，ˆˆˆˆˆˆˆ[,()][,][,]ABCABAC，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCBACABC，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABCACB，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0ABCBCACAB，Jacobi恒等式第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（6.4）对易式和反对易式的关系ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABCACBˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABCBAC（7）逆运算如果，ˆ,Fuv可以唯一的解出u，则ˆF之逆1ˆF为，1ˆFvu如果算符ˆF的逆存在，则：11ˆˆˆˆ=,FFFFI1]ˆˆ[,0FF第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质不难证明，111ˆˆˆˆ()FGGF。注：并非所有算符都存在逆算符，如投影算符ˆxiPAB不存在逆算符。（8）算符的函数给定一个函数()Fx，其各阶导数都存在，幂级数展开收敛，0(0)()!nnnFFxxn第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质则可定义算符ˆA的函数ˆ()FA为，0(0)ˆˆ()!nnnFFAAn例如，()xFxe,ˆdAdx，则可定义0ˆ()exp!nnnndadFAadxndx。两个（或多个）算符的函数也可类似定义。例如，令，,(,)(,)nmnmnmFxyFxyxy第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质则，,,0(0,0)ˆˆˆˆ(,)!!nmnmnmFFABABnm但应注意，除ˆˆ[,]0AB外，上述定义有不确切之处，因为两个算符的乘积次序未确定。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（9）线性算符如果算符ˆF和任意函数12,uu，满足，11221122ˆˆˆ()FcucucFucFu，式中，12,cc为任意常数，则称ˆF为线性算符。在量子力学中碰到的算符并不都是线性算符（如，时间反演），但是用来刻画力学量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的要求。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（10）算符的复共轭、转置和厄米共轭（10.1）内积（标积）****(,)()(,)uvuvduvdvu，性质，(,)0uu，*(,)(,)uvvu，11221122(,)(,)(,)ucvcvcuvcuv，**11221122(,)(,)(,)cucuvcuvcuv。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（10.2）算符的复共轭算符ˆF的复共轭算符*ˆF定义为，ˆF*u=(ˆFu*)*通常可由表达式中所有量换成其共轭复量构成。例如，在坐标表象中，动量算符ˆxpix，则*ˆˆxxpipx。矢量表达式为*ˆˆpp。注：算符的表达式与表象有关系。在动量表象中，ˆF第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（10.3）算符的转置算符ˆF的转置算符，其定义式为，，,uv为任意函数，或者，。例如，，证明：第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质*duvuvdvuxxdvux其中，，按转置算符的定义式，上式左边＝dvux，由为于任意函数，所以，，即在坐标表象，ut®¥¾®¾¾0u*,v第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质可以证明：。（10.4）算符的厄米共轭算符ˆF的厄米共轭算符†ˆF定义为，†**ˆˆ()uFvdFuvd或者，†ˆˆ(,)(,)uFvFuv。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质由，可知，即一个算符的厄米共轭算符等于这个算符的转置复共轭算符。可证，†ˆˆˆ()ABC=†††ˆˆˆCBA。（11）厄米算符第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质如果算符ˆF和任意函数,uv，满足，**ˆˆ()uFvdFuvd或ˆˆ(,)(,)uFvFuv，则称ˆF为厄米算符，也称自共轭算符。和算符的厄米共轭算符的定义［†ˆˆ(,)(,)uFvFuv］比较可知，如果一个算符是厄米算符，那么这个算符的厄米共轭算符为其本身，†ˆˆFF。可证，任意两个厄米算符之和为厄米算符，但两个厄第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质米算符之积不一定为厄米算符。除非两者对易。设ˆˆ,AB为厄米算符，则††ˆˆˆˆABAB=†ˆˆ()BA。当ˆˆ[,]0AB时，ˆˆˆˆABBA，由上式†ˆˆˆˆ()ABBA，则†ˆˆˆˆ()BABA，那么ˆˆAB为厄米算符。当ˆˆ[,]0AB时，ˆˆAB为不是厄米算符。由ˆˆ,AB为厄米算符，可以构造厄米算符，第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质11ˆˆˆˆˆ()2FABBA，21ˆˆˆˆˆ()2FABBAi，由此证明，任何算符ˆO可以分解为，ˆˆˆOOiO，其中，†1ˆˆˆ()2OOO，†1ˆˆˆ()2OOOi，都是厄米算符。在量子力学中，用来表示力学量的算符都是厄米算符。（12）厄米算符的几个定理第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（12.1）任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。证：**ˆˆˆ(,)(,)(,)AAAAA，即*AA必为实数。（12.2）逆定理：任何状态下，平均值为实数的算符必为厄米算符。证：(y,ˆAy)=(y,ˆAy)*=(ˆAy,y)则ˆA为厄米算符。注：实验上的可观测量，要求任何状态下平均值都是第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质实数，因此相应的算符必须是厄米算符。（12.3）推论：设ˆA为厄米算符，则任意态下，22ˆˆˆ(,)(,)0AAAA（13）厄米算符的本征值与本征函数第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质（13.1）算符的本征方程如果算符ˆF作用于一个函数上，结果等于一个常数乘以这个函数，ˆF，则，：ˆF的本征值，：属于的本征函数，上式方程：算符ˆF的本征方程。（13.2）厄米算符的本征值和本征函数第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质定理一：厄米算符的本征值必为实数证：设ˆF，F=(y,ˆFy)=l(y,y)=l，由厄米算符的平均值必为实数，可得*，定理二：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质交。证(分离谱)：设ˆmmmF，ˆnnnF，则ˆˆ(,)(,)mnmnFF，由定理一得，(,)(,)mmnnmn，即()(,)0mnmn，由mn，可知，(,)0mn。（13.3）量子力学中力学量的算符第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质假设一：如果量子力学中的力学量ˆF在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符ˆF由经典表示式(,)Frp中将p换为算符ˆp而得出，即：。如经典力学中的角动量，，量子力学中的角动量算符为，。至于那些只在量子力学中才有，而在经典力学中没有第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.2、算符的基本性质的力学量（例如自旋），其算符如何引进？将在后面讨论。算符和它所表示的力学量之间的关系应当怎样理解呢?量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符。假设二：如果算符ˆF表示力学F，那么体系处于ˆF的本征态中时，力学量F有确定值，这个值就是ˆF在态中的本征值。第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.3、坐标算符和动量算符的厄米性3.1.3、坐标算符和动量算符的厄米性利用厄米算符的定义，可以直接验证：坐标算符和动量算符都是厄米算符。因为x是实数，有*()*xdxxdx，对于动量算符的一个分量ˆxp，有第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.3、坐标算符和动量算符的厄米性。最后一步是假设,在x时等于零。当和为ˆxp的本征态时，(),()ikxikxxexe，虽然,在x时不再等于零，但是ˆ*ikxikxxpdxieedxx第三章量子力学中的力学量3.1、表示力学量的算符3.1.3、坐标算符和动量算符的厄米性===即ˆˆ*()*xxpdxpdx，ˆxp是厄米算符。第三章量子力学中的力学量3.2、动量算符和角动量算符3.2.1、动量算符3.2、动量算符和角动量算符3.2.1、动量算符（1）动量本征值方程动量算符，，在直角坐标系中，第三章量子力学中的力学量3.2、动量算符和角动量算符3.2.1、动量算符在球坐标系中，设是动量算符的本征值，为相应的本征函数，则本征值方