Chapter4几种重要的分布.

1第四章重要的分布§4.1二项分布§4.2超几何分布§4.3普哇松分布§4.4指数分布§4.6正态分布2n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若nkppCkXPkPknkknn,,1,0,)1()()(则称X服从参数为n,p的二项分布，记作),(~pnBX注：0–1分布是n=1的二项分布§4.1二项分布3nkppCkXPknkkn,...1.0)1(}{),(~pnbX若nkknkppknknkXE0)1()!(!!)(knknkppknkn)1()!()!1(!1)1(111)1()!()!1()!1(knknkppknknnpnplnlnllnppCnpkl1101)1(1令二项分布的数学期望4nkknkppknkkn1)1()!()!1(!nkknkppknknk1)1()!()!1(!)11(1(1)!(1)(1)!()!nknkkknppknknkknkppknknkXE122)1()!(!!)(二项分布的方差1!(1)(1)!()!nknkknppknk52!(1)(2)!()!nknkknppknk22220(1)(1)nllnlnlnnCppnppnn2)1(222()(1)(1)DXnnpnpnpnpp1!(1)(1)!()!nknkknppknk11110(1)njjnjnjnCpp6例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设ξ为汽车行驶中遇到的红灯数,求ξ的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,ξ～B(6,1/3),于是,ξ的分布律为:6612{}0,1,...,633kkkPkCk(2){5}{5}{6}PPP565612113333729C7例某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。解设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ,则ξ～B(6，0.75)ξ0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.178066{=}=C(0.75)(10.75)=0,1,,6kkkPkk8例10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布解：ξ服从二项分布，ξ～B(100.2)1010{=k}=(0.2)(10.2)0,1,,10kkkPCk例一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样（有放回），求出现废品的频率为0.1的概率。解令ξ表示2０次重复抽取中废品出现的次数，它服从二项分布，ξ～B(200.03)2218200.1(2)0.030.970.098820PPC9二项分布的最可能值二项分布中ξ可以取值0,1,…,n。使概率P{ξ=k}取最大值的k，记作k0，称k0为二项分布的最可能值0-1,,nppnppnppknpp和当为整数时其他例某批产品中有80%的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。10解显然，ξ～B(4,0.8),np+p=3.2+0.8=4是整数，所以当k0=4和k0=3时，P{ξ＝k0}为最大。即取出４个样品时，一等品个数最可能是３或４。用贝努公式计算ξ的分布律下ξ01234p0.00160.02560.15360.40960.409611§4.2超几何分布引例某班有学生20名，其中有5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。解ξ可以取0,1,2,3,4这５个值，ξ01234p0.28170.46960.21670.03100.00104515420()(0,1,2,3,4)kkCCPkkC121212(),(0,2,,)mnmNNnNNCCPmmnC1NEnN12--1NNNnDnNNN超几何分布以二项分布为极限1212()mnmNNmmnmnnNNCCPmCpqC当N→∞时，定义设N个元素分为两类，有N1个属于第一类，N2个属于第二类（N1＋N2＝N）。从中按不重复抽样取n个，令ξ表示这n个中第一（或二）类元素的个数，则ξ的分布称为超几何分布。其概率函数是13例一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后，（１）恰有8粒发芽的概率；（２）不少于8粒发芽的概率。解设10粒种子中发芽的种子数目为ξ。因10粒种子是由一大批种子中抽取的，这是一个N很大，n相对于N很小的情况下的超几何分布问题，可用二项分布公式近似计算。ξ～B(10，0.9)88210(1)(8)0.90.10.1937PC882991101010(2)(8)0.90.10.90.10.90.9298PCC14若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称随机变量X服从参数为的Poisson分布.或)(~X)(P记作应用场景：在某个时段内：超市的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.某容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；§4.3普哇松分布--Poisson分布15由于两边对求导得或或2201()!(1)!kkmkkeEkekk1()(1)!kkeEk1(1)!kkek11(1)(1)!kkkek1(1)(1)!kkkek()D101();!(1)!mmmkkEkeekk普哇松的期望与方差16,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn,则对固定的k0nnp设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n较大，p较小,而适中,则可以用近似公式np,2,1,0,!)1(kkeppCkknkkn17example一大批产品的废品率为p=0.015求任取一箱（有100个产品），箱中恰有一个废品的概率soluiton所取一箱中的废品个数服从超几何分布由于产品数量N很大，可按二项分布公式算，其中n=100,p=0.015但由于n较大而p很小，可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算，其中λ=np=1.5,查表得：199100(1)0.0150.9850.335953PC误差很小，不超过0.011.5(1)0.334695P18若X的密度函数为其他,00,)(xexfx则称X服从参数为的指数分布，)(~EX记作0为常数应用场景电话问题中的通话时间；无线电元件的寿命动物的寿命；§4.4指数分布19example电子元件的寿命ξ(年）服从参数为3的指数分布求该电子元件寿命超过2年的概率。solution{2}p330()00,xexxx323xedx33623=xxedxee+（）220记作,为常数，0亦称高斯(Gauss)分布§4.6正态分布若随机变量的密度函数为则称服从参数为,2的正态分布22()21(),()2xxex2(,)N所确定的曲线叫作正态曲线.()x21f(x)的性质：图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值21在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点；曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状或钟形状f(+x)=f(-x)22f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同—形状参数固定，对不同的，f(x)的形状不同：较大时，曲线平缓，反之则陡峭。23-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5大小几何意义大小与曲线陡峭程度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比24正态分布之应用场景各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；25一、标准正态分布1,0的正态分布称为标准正态分布.2201(),2xxex记作：~(0,1)N其概率密度为：)(x其图像是关于y轴对称的钟罩形曲线：“两头小，中间大，关于y轴对称”00()()xx260000000(1.81),(-1),(0.57),(0)(6.4),(2),(3.24)example如何查概率密度函数表27二、一般正态分布和标准正态分布的关系度分别记为和()x0()x和，()x0()x01(1)()()xx0(2)()()xx定理2~(,)N~(0,1)N如果，其概率密，分布函数分别记为则有(0,1)N定理如果，2~(,)N=()，则有28xx表中给的是x0时,Φ(x)的值.当-x0时？三、借助正态分布函数的计算()Px2212txedt0()x对于标准正态分布而言，我们有(04.99)x29()Px()Px1()Px当-x0时()PaXb0()x01()x(04.99)x当时，有5x()1x当时，有5x0()0x00()()ba30(2.35).Psolution：由附表可直接查得：01(2.35)(2.35)PX0.009410.9906example，~(0,1)N试求(2.35),P(2.35),P(12),P(5.5),P(2.35)(2.35)0.9906PX00(2)(1)(12)PX0.977310.841300(2)[1(1)]0.8186311(5.5)PX(5.5)PX001(5.5)(2.352.35)PX(2.35)PX00(2.35)[1(2.35)]00(2.35)(2.35)0.981202(2.35)120.9906132对于一般正态分布而言从而，只要将一般正态分布的分布函数转化成标准正态分布，然后查表就可计算.)(bXaP00()()ba)(aXP01()a)(bXP0()b(0,1)N定理如果，2~(,)N=()，则有33solution：(01.6)P000.30.5000.3[10.5]]6915.01[6179.03094.0example.设,求(1,4)N(01.6)P001.61012234二维正态分布2211222221212()2()()()12(1)2121(,)e2π1xμρxμyμyμσσρσσxyσσρ.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中(,)xy221212(,)~(,,,,)Nμμσσρ若二维随机变量具有概率密度(,)记为(,)的二维正态分布服从参数为则