chp8包含集中元件的扩展FDTD算法

25第8讲包含集中元件的扩展FDTD算法在微波集成电路中有些元器件的尺寸比工作波长小得多，因此可以近似处理为集中元件。集中元件本身可以用伏安特性或状态方程描述。包含集中元件的FDTD算法需要解决的问题主要有两方面:1.如何将集中元件编入常规的FDTD算法。对于简单元件可以通过改变元件所在位置的FDTD网格媒质参数来实现。更一般的情况可以通过把集中元件作为等效源加入到FDTD算法中。2.如何求解耦合集中元件特性方程的FDTD方程，保证算法的稳定性。基本算法仍然是有限差分法。也可以耦合电路模拟器如SPICE软件。8.1编入集中元件的等效参数法对于一些简单的集中元件，如电阻、电容等，可以通过设置集中元件所在网格的媒质参数来实现集中元件的编入。考虑图8-1所示的Ez分量所在的网格，设集中元件沿z方向放置在Ez分量处。电阻模型如果网格中填充电导率为z的材料。则网格电阻为zyxzR于是，对于集中电阻lumpR，我们可以设网格中的电导率为lumpzyRxz电容模型如果网格中填充相对介电常数为rz的材料。则网格电容为zyxCrz0yH集中元件xHzE图8-1在FDTD网格中的集中元件26于是，对于集中电容lumpC，我们可以设网格中的相对介电常数为0yxzClumprz电压源和电流源模型对于内阻为intR、电压为intV的电压源和内阻为intR、电流为intI的电流源模型，可以在网格中设置电流密度)2(int12/1EEEJnznzznz其中，lumpzyRxzxVE/intint（电压源），)/(intintzyxIE（电流源）等效参数法模型简单，实现方便，没有给FDTD计算增加难度。但对于复杂的元件难以胜任。8.2等效电流源法将集中元件等效为一个电流源dJ，于是，tEJHd(8-1)假设集中元件沿z方向放置，则yxIJdd。那么，利用时域有限差分过程可以得到:2121,,,,1,,ndnkjinkjiznkjizIyxtHtEE(8-2)式中,yHHxHHHnkjixnkjixnkjiynkjiynkji21,21,21,21,21,,2121,,2121,,(8-3)(8-2)可以用电路语言描述为27tddIIdtdVC(8-4)式中，ztyxC为FDTD网格的等效电容，tI为由磁场积分所得的总电流。(8-4)可以等效为图8-2所示的电路。对于简单的集中元件，可以利用伏安特性)(ddVfI将电流与场联系起来，其中dV为器件两端的电压。假设器件只占一个网格，则电压与电场的关系为zEVzd，于是，有)(2121zEfInznd（8-5）但是，上式中可能要用到半时间步n+1/2的电场分量，而FDTD公式（8-2）中只有整时间步n或n+1的电场分量，这时可采用时间平均算法nznznzEEE12121（8-6）由（8-2）结合（8-5）和（8-6）就构成了包含简单集中元件的FDTD算法。下面给出几种简单集中元件的公式:电阻R伏安特性为ddRVI，于是nkjiznkjizndEERzI,,1,,212(8-7)电容C伏安特性为dtdVCIdd，采用中心差分格式，可得nkjiznkjizndEEtzCI,,1,,21(8-8)电感L伏安特性为tdddtVLI01，于是nmmkjizndELtzI1,,21(8-9)tI集中元件dICdV图8-2扩展FDTD的Norton等效电路28电阻性电压源伏安特性为ssddRVVI，于是snsnkjiznkjizsndRVEERzI21,,1,,212(8-10)二极管伏安特性为]1[)/(0KTqVddeII，其中q为一个电子的电量，K为Boltzmann常数，T为温度。于是，}1{]/)([021,,1,,KTZEEqndnkjinljieII(8-11)对于复杂的集中元件，简单的伏安特性已不足以描述其特性，可采用状态方程描述之。集中元件的状态方程一般为一阶微分方程，可以用矩阵形式表示为XFXXBdtdXXA(8-12)式中，X为状态变量矩阵，A、B为由电路元件确定的系数矩阵，F是由tI确定的矩阵。上式可用有限差分法结合Newton-Raphson法求解，得到状态变量X。再由X求得器件终端的电压，电压是电场的积分，从而使电场与电压联系起来，集中元件也因此插入了FDTD的计算公式中。情况1：线性元件（8-12）中，A、B为常数矩阵，F为源矢量。FDTD算法总结如下:1n=0时,0,021nnHE，写出A和B，给定nX初值；2n=n+1；3由FDTD公式更新无集中元件区域的1nE；4更新集中元件区域的1nE；a)确定F；b)由（8-12）式的差分公式求得1nX，得到dV；c)由FDTD公式（8-11）更新1nE；5由FDTD公式更新211nH；6重复步骤2直到n到达maxn。情况2：非线性元件。这时状态方程作以修正如下:XDFBXdtdXA(8-13)采用如下方法求解：29设0XDFBXdtdXAXG(8-14)将XG泰勒级数展开为2XOXJXGXXG，其中，矩阵jiijXGJJ。令0XXG，并且忽略2XO，可得GXJ（8-15）由上式求得X后，设XXXoldnew（8-16）得到状态变量的新值。包含非线性集中元件的FDTD算法总结如下:1n=0时,0,021nnHE，写出矩阵A和B，给定nX初值；2n=n+1；3由FDTD公式更新无集中元件区域的1nE;4更新非线性集中元件区域的1nE:a)i=0时，nnXX10；b)确定F；c)确定J；d)解得X；e)XXXnini11；f)由（8-11）更新1nE；5由FDTD公式更新211nH；7重复步骤2直到n到达maxn。8.3等效电压源法集中元件也可以作为电压源插入FDTD网格中，如图8-3所示。图中集中元件作为电压源加在微带与接地面之间。等效电压源前后左右的四个网格中的电流流经等效电压源。E场积分接地面等效电压源Imesh1微带图8-3集中元件作为电压源编入FDTD网格30对于左边的网格利用Faraday定理可得:devloopmeshVVdtdIL1,1,1(8-17)式中，1L为FDTD网格的空间电感，1,loopV为沿网格边界的电场积分，不包括等效电压源所在边。1,meshI为左边网格的回路电流。相同的公式可以在其他三个网格得到。设devI为流经集中元件的电流，它等于前后左右四个回路电流的总和。如果沿着微带有N个电压源，devI等于所有回路电流的总和，所满足的方程如下:devtotaldevtotalVVdtdIL(8-18)式中，NiitotalilooptatolLLVV41.，NiitotalLL4111。上式可以表示为如图所示的等效电路。根据方程（8-18），在每次的时间步进中，devV由电路的状态方程求得，随后用于集中元件区域的电场更新，从而将场变量和集中元件变量在FDTD的循环计算中连接起来，完成了将集中元件插入FDTD的算法中。举例作以说明，有一MESFET的大信号等效电路，模型如图8-5所示，其中dsgsIC,为非线性元件。totalV集中元件devItotalLdevV图8-4扩展FDTD的Thevenin等效电路gtotalL,gLgRgdCddtotalLL,dRgsCdtatolV,gtatolV,dvdsCdsRdsIgviRsLsR'G'D'SGDS图8-5MESFET的大信号等效电路31选择TLLdDGgdgiivvv],,,,[''为状态变量X，根据图示电路，可得状态方程（8-12），其中，ssdddssggdssddgssgggdsgdgdggsggsLGGLGGGLGGLGGGLGGLGGGLGGLGGGCCCvCvCA''''10001000000000)(0000)(10001)1(0100000100000GGGGGGGGGGGGRRRBsdgdggggiii，gtotalgddtotaldddtotaldggtotalggdgdsVGGGVGGGVGGGVGGGvvIF,,,,)1()1(),(00其中，sdgdtotalddgtotalggGGGGLLLLLL,,,','，ggRG1，ddRG1，ssRG1。于是dtdiLVVLiitotalitotalidev...其中i为g或d。得到deviV后，根据电压与电场之间的关系，就可以得到电场的时间步进式，从而把MESFET插入到FDTD算法中。8.4等效磁流源法32上两节介绍的等效电流源法和等效电压源法中，假设集中元件是无尺寸的，没有考虑元件的实际尺寸及元件在电路中的精确位置，等效源以细线处理，因而导致了寄生电容，增加了计算结果的误差。本节在电磁场等效原理的基础上，利用外加的等效磁流和理想导体等效集中元件产生的电磁场，等效磁流环绕集中元件占有的体积，同时模拟穿透该体积的两端电压.。结果，在集中元件所占体积外产生相同的电磁场，而体积内部则为零场，从而抑制了寄生电容的不良影响.考虑图8-6所示的情况，为了简单起见，设集中元件为一电阻性电压源。利用Love等效原理，在集中元件的体积abcdefgh中填充理想导体，为了保持体积外场不变，在垂直面上加面磁流EnMsˆ。电阻源产生的电压V与电场的关系为zezVE。为了获得FDTD公式，利用Ampere定律HtME，其中，M为等效磁流，它与等效面磁流sM的关系为xMMyMMysyxsx，。于是，利用中心差分格式，由Ampere定律可得：tHHyzVzEEyEEnkjixnkjixnnkjiynkjiynkjiZnkjiZ,,1,,2121,,211,,21,,21,1,(8-18)对于电阻性电压源，dssIRVV，dI等于磁场沿环路ABCD的积分，即yHHxHHInkjiynkjiynkjixnkjixd)()(21,,121,,21,,21,1,(8-19)由于是集中元件，可以假设在ABCD中电流密度是均匀的，因此，ABCD边上的磁场的切向分量是一个常量，即21,,121,,21,,21,1,nkjiynkjiynkjixnkjixHHHH(8-20)sMabcdefgsMabsMsMsVsRLIxyzo图8-6集中元件用等效磁流源编入FDTD网格33再利用时间平均近似，（8-19）式变为))((,,1,,21yxHHInkjixnkjixnd(8-21)根据以上公式，最后可以得到:zyyxRtzyVzEEyEEzyyxRtHzyyxRtzyyxRtHsnsnkjiynkjiynkjiZnkjiZsnkjixssnkjix)()(1)()(2121,,211,,21,,21,1,,,1,,(8-22)同理，可以得到kjiykjiykjixHHH,,1,,,1,,,的FDTD公式。为