Cucker-Smale动力学模型的渐进群聚现象

1Cucker-Smale动力学模型的渐进群聚现象摘要：本文将主要介绍Carrillo等人关于Cucker和Smale对群聚现象连续动力学模型的研究工作[7,30]，该模型常用于描述有机体、动物及人造设备等多体系统的群聚现象．我们将首先从一个Biltzmann型方程出发，得到类似于参考文献[5]中的动力学方程，然后运用质点逼近的方法以及一个与距离有关的稳定性，对相空间中分布的长时间形态进行考察，得到类似于文献[7]中的结果．确切地说，动力学方程的所有解将指数收敛，而它们的速度将收敛到一个平均值，从而整个状态就会最终收敛到一个平行移动的群聚解．Abstract：Inthispaper,weintroducedtheworkofCarrilloabouttheasymptoticbehaviorofsolutionsofthecontinuouskineticversionofflockingbyCuckerandSmale[7,30],whichdescribesthecollectivebehaviorofanensembleoforganisms,animalsordevices.Thiskineticversionintroducedin[5]ishereobtainedstartingfromaBoltzmann-typeequation.Thelarge-timebehaviorofthedistributioninphasespaceissubsequentlystudiedbymeansofparticleapproximationsandastabilitypropertyindistancesbetweenmeasures.Acontinuousanalogueofthetheoremsof[7]isshowntoholdforthesolutionsonthekineticmodel.Moreprecisely,thesolutionswillconcentrateexpo-nentiallyfasttheirvelocitytotheirmeanwhileinspacetheywillconvergetowardsatranslationalflockingsolution.关键词：群聚现象；非线性方程；运输模型；2第一节引言近年来，关于群聚现象及多主体互动的自闭状态研究已在生物学、生态学、电子智能、控制理论乃至社会学、经济学等诸多领域收到越来越多的关注．在自然界中，鱼群、鸟群及细菌群落自发性的聚集现象是人口学，生物学以及生态学的重要研究课题[1,4,7,14,15,18,20,23,24]．同样，多个移动主体(机器人，传感器)的协调合作也已在传感器网络中起着关键的作用，从而在环境控制中有着广泛的应用[22,13,28]．经济行为的聚合，如现代社会中的财富分布[12,9]，或决策和观点的形成[10,32]，也是近年来研究的重要课题，这些领域也回出现一个不断聚合的平衡点．特别地，最近Cucker和Smale[7]关于聚集现象的数学研究工作引起了数学界引起了不小的关注度．类似物理学，在现实世界里，一个理想模型如果能真正把握到一些本质的属性，就能对观察对象做一个有效的描述．在生物和物理学中，对聚集现象进行模拟的主要目的主要是为了能够解释和预测不同的群聚现象或是多体系统的分散行为．目前，相关研究主要集中于建模和模拟上[23,24,35]，对群聚现象的渐进收敛速率的定量研究则非常少[7,22]．但是，数学研究已逐渐在交叉学科领域取得重要进展，例如,连续极限方面近来已取得很多研究成果[23,24]，人们可以运用适当的包含扩散项和作用项(质点间相互吸引/排斥势能)的偏微分方程来建模分析一些整体群聚现象(高密度多体系统)．在[19]中，作者通过一些经典的相互作用势能对离散模型进行了分类，然后通过相应的热力学方程[14]和动力学方程[8]对其进行研究．迄今对社会、经济方面群聚现象的研究工作中，数学方面的效果表现得更为突出．这一领域的主流思想认为，一个由足够大数量个体构成的一个群体的群聚行为，事实上是可以用物理系统中用于研究多质点相互作用的统计力学来描述．到目前为止，人3们已经根据统计物理发展出很多方法来建立和分析相关模型．特别地，已有大量的工作，借鉴用于研究稀薄气体的动力学理论发展出有效的方法来构建出了相应的Boltzmann型动力方程以描述常见的群聚现象，见参考文献[25]等等．本文的第一个目的就是想通过动力学方程的分析方法来描述Cucker和Smale关于聚集现象的工作[7]．将描述个体之间相互作用的碰撞力学原理运用到[7]中关于鸟群个体速度变化上，我们得出一个空间耗散的Boltzmann型方程，其可以通过密度函数),,(tvxff来描述相应的群聚现象．这个方程也是人想起Povzner[29]对Boltzmann方程的一个变形．然后，在一个所谓的擦边碰撞的极限渐近过程中，我们可以得到一个约化方程，其不仅保留了所得Boltzmann型方程的所有性质，还便于进行更详细的研究．这个方程最近已在Ha和Tadmor的工作中也得到了[5]，在Ha和Liu的工作中还有更进一步的分析[26]．在Cucker和Smale建立的粒子模型中，粒子之间的相互作用是以一个距离为自变量的单调递减函数来刻画的;总结有限个粒子模型的结果，只要在远距离上有足够强的相互作用力，它们就会以指数速度聚合,速度也将趋于它们运动速度的平均值，而且这个结果与初始状态无关．这种情形称为无条件群聚．在[5]中的工作表明，能量的振动是动力学方程古典解的一个李雅普诺夫函数，它关于时间是次指数衰减于零的，但是，为了达到无条件群聚目的，它需要比有限粒子模型的长距离相互作用更多的限制条件．本文的第二个目的就是要发展后面这些结果，并一个与有限粒子模型同等收敛估计的新无条件群聚定理．而且该结果对古典解和可测解都成立．4我们进行方式是，首先用原子测度的观点来重新建立有限质点模型，并在这种测量框架下证明无条件聚集模型．特别地，我们将在命题5中证明聚集到平均速度的原子测度的存在性，而且这个动力学方程的原子测度解是在一个与有界Lipschitz函数有关的对偶距离下，关于时间指数收敛到该平均速度的．特别地，空间中可测解的解集在过程中一直保持有界．我们对群体的估计都是依据时间，而非群体的个数，因此，在定理6中我们可以通过简单的初值数据对任意可测解进行近似讨论，以推广该支集的形式．我们将质点的解和[26]中说明的稳定性综合起来（[26]定理3D中给出了这个稳定性），可以通过动能以指数收敛于零得出Ha和Tadomr的结论的简化结果．Carrillo等人完成了这部分研究，并将Cucker和Smale的部分质点模型进行推广，并在定理9中给出了无条件聚集的理论[30]，其中陈述了，任意有紧支集初值的可测解的集合，只与平均速度有关．这篇综述的概要如下：第二节中重述了Cucker和Smale的有限粒子模型和他们关于无条件聚集的理论．构造了一个动力方程使模型中复杂的碰撞规则进行合并．通过追尾碰撞限制，得出一个发散的非线性摩擦方程.第三节中致力于阐述[5,26]中的结论，其中后者的方程独立地反映了自然界状态限制下的有限粒子模型．第四节中介绍了Carrillo等人的主要结论，它推广了[5,26]中的主要结论并完整地概括了有限粒子模型．第五节中对以上模型进行了总结，并提出了可能的继续研究的方向．第二节群聚现象的Boltzmann方程2.1Cucke-Smale模型在[7]中，Cucker和Smale研究了3RE空间中鸟群的群聚现象，目的是证明在特定的鸟群的交流频率下，群集现象中所有鸟5都能保持以相同的速度飞行的状态．主要假设证明群体中每只鸟随群体中其他鸟来调整自身速度，以达到一个有利的平均相对速度．在N只鸟中，当tntn，Nn且0t时，对第i只鸟有：,))()(()()(1NininjijninitvtvaNttvttv（2.1）其中权值ija量化了鸟群的互相影响方式，与个体总数N和衡量相互作用力的值无关．在[7]中，假设两只鸟的交流频率是一个函数,对于部分0记为：,)1(12jiijxxa（2.2）对于NEvx,，给出：,21)(2jijixxx（2.3）和，.21)(2jijivvx（2.4）在对和及初值进行适当的限制的情况下，当n时))((ntv收敛于0且对于所有Nji,，向量jixx趋于一个极限向量ijx，则可以得到一个常数0B使得0))((Btxn对任意Nn成6立．特别地，当21时，对初值及没有限制[17.定理1][7]．在这一情况下，称为无条件群聚．鸟群的行为有唯一解，所有鸟都成指数收敛，趋于同速飞行，同时，它们之间的距离趋于恒定，这一结论最近在多个研究中被证明[5,20,26]．其中研究了其他权值和交流速率的情况，在特定的情况下能使收敛速度加快．（2.1）中的情况可以用另一种形式来表示，设一个群体只有两只鸟，记为i和j．设它们按下面的规则来修正自己的速度：),()()1()(njijniijnitvtatvtattv(2.5a)),()1()()(njijniijnjtvtatvtattv(2.5b)由互动后动量不变，),()()()(njninjnitvtvttvttv动能的增减由控制，.))()()(1(2)()()()(22222njniijijnjninjnitvtvtatatvtvttvttv（2.6）对于1t，动能有耗散，这种情况下，平均速度会降低，因为：,)()()()(21)()(njninjniijnjnitvtvtvtvtattvttv（2.7）7两只鸟的速度趋于平均值2jivv，在21t的情况下，（2.5）近似于一个耗散气体分子空间的相互作用．（见参考文献[11]）在有N只鸟的情况下，考虑（2.5）中的规律，并假设第i只鸟修正其速度给其他鸟的速度相同的权值，得出结论：,)}()()1{(1)(1NjnjijniijnitvtatvtaNttv（2.8）这是对（2.1）的另一种写法．2.2Cucker-Smale群聚模型的Boltzmann方程不同于对有限个体的控制，大群体的互动可能受到一个大的ODEs系统的控制，这给研究造成一定的困难．参考气体动力学理论中的方法，我们可能要考虑群体的密度分布和随机的空间位置、速度和时间变化（参考气体动力学理论中的经典碰撞规则）．在这一情况下，这种影响在空间中是混乱的，因为两只鸟即使距离很远也存在相互作用．因此，选择用密度分布来描述整体的群聚行为，而不模拟每一个个体的行为，这样可以得到一个一阶偏微分方程．用),,(tvxf给出鸟的密度，在位置dRx，速度dRv及时间0t，1d时，动力学模型中),,(tvxff的变化可以用动力学理论的标准模式来控制．考虑到),,(tvxf随时间的变化量依赖鸟之间的互动（不进行互动鸟的速度不变）．这一变化在密度上依赖鸟在二元相互作用下速度的增减（不考虑其他影响因素）．假设，两只鸟的位置和速度),(),,(wyvx，它们在相互影响后按下式8修正它们的速度：,)())(1(*wyxavyxav(2.9a),))(1()(*wyxavyxaw(2.9b)关于交流速率的函数a为：,)1(12xa,dRx(2.10)其中21．注意，与一般的动力学碰撞理论一样，在二元相互作用下，速度的改变与时间无关，因此得到下面的Boltzmann方程：),,,)(,(),,(tvxffQtvxfvtfx(2.11)其中:.),(),(),(),(1),)(,(**dwdywyfvxfwyfvxfJvxffQddRR