“圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”————段廉洁一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备六．“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】1.（2017威海）如图1，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为__________。简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为AC定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离），此时BP=23-22.如图1所示，边长为2的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为__________。简答：因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故A、B、O三点共圆，圆心角为60°，故以AB为边向O方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以QA为半径作⊙Q（如图2），由知识储备二可知当OC⊥AB时，OC距离最大，OC=OQ+QH+HC=2+3+3=2+23【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积最大值为（）A.2B.12C.12D.22简答：因为AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因为∠AOB是圆周角，故圆心角为90°，以AB为斜边向上方作等腰直角△QAB，则Q为圆心（如图2），由“知识储备二”可知，当OQ⊥AB时，此时△OAB的高OH最大，面积最大。面积为112(21)2122ABOH，所以此题选择B。同学：老师，你说错答案了，选C。小段老师：没错啊，就选B啊。同学：你是老师，你说了算，你开心就好...小段老师：题目有告诉你们A、B在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于45°吗？如图3，构建⊙Q，由“知识储备二”可知当OQ⊥AB时，此时△OAB的面积最大为112(2+1)2+122ABOH，故答案选B4.如图1，AC为边长为32的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值简答：如图2，由M、N点速度相同可知BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM（如图2），又因为∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则P在⊙Q上，由“知识储备三”可知，当△ABP是等腰三角形时，△ABP周长最短。又由△APB是定角为120°的等腰三角形，故AP:BP:AB=1:1:3，AB=AC=23，故PB=PA=2，故△ABP的周长最大值为4+23【模型二：动点到定点定长】1.如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_______度。简答：如图2，因为AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A为圆心的圆上，故∠CBD=12∠CAD=38°2.如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________。简答：如图2，因为DA=DB=DC，故A、B、C三点在⊙D上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠ADB=140°，故∠ACB=12∠ADB=70°3.如图1，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD简答：因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故EB=CD=6，ED=2AD=10，故BD=84.如图1，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为？.简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。5.在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？如图1如图2简答：由上一题可知，P的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点P所围成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案：66.如图1，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？如图1如图2简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A＇，则AP+PG=A＇P+PG，当A＇、P、G三点共线时，最短，又因为A＇为固定点，G在圆上运动，由“知识储备一”可知当A＇、G、D三点共线时，此时A＇G最短，为47.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且AC=2.设tAN∠BOC=M，则M的取值范围为？简答：因为AC=2，A是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）可知，C在⊙A上运动，当OC与⊙A相切时，此时∠BOC最小，tAN∠BOC也最小，此时∠BOC+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，故∠BOC=∠CAO，此时tAN∠CAO=52OCAC，又因为角度越大，正切值越大，故tAN∠BOC=M≥528.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是？简答：E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=2不变，故P点到F点的距离永远等于2，故P在⊙F上运动，如图2。由垂线段最短可知，FH⊥AB时，FH最短，当F、P、H三点共线时，PH最短，又因为△AFH∽△ABC，所以AF:FH:AH=5:4:3，又因为AF=5，故FH=4，又因为FP=2，故PH最短为29.如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN，连接PC，则PC长度的最小值是？简答：翻折过程中，MP=MA=2，故P在⊙M上运动，当M、P、C三点共线时，PC最短。PC=MC-MP，要求MP需要过M作MH⊥CD于H，∠HDM=30°，故HM=1，HD=3，故HC=43，故易求MC=7，则PC=7-2=5【模型三：直角所对的是直径】1.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP长的最小值为？简答：如图2，因为AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故P在以AB为直径的⊙H上，当H、P、C三点共线时CP最短，HB=3，BC=4则HC=5，故CP=5-3=22.如图1，A（1,0）、B（3,0），以AB为直径作圆M，射线OF交圆M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为弦EF的中点，当射线绕O旋转时，CD的最小值为？简答：因为D是EF中点，故MD⊥EF，故∠ODM始终等于90°，故D在以OM为直径的圆上，如图2。易知A为圆心，当A、D、C三点共线时，CD最短，CD=AC-AD，又易知C（2,1），故AC=2，故CD=2-13.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB,BC于E、F，则EF的最小值为？简答：因为∠EOF=90°，∠C=90°，故C、O均在以EF为直径的圆上（也称四点共圆），因为EF是圆的直径，O、C均在圆上，且OC长度固定，要使得EF最短，则圆最小，要使圆最小，OC为固定长度，则OC为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）4.如图1，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围．简答：以CQ为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角．当⊙O与AB相切时（如图2），直径CQ最小．由切线长定理，得AP＝AC＝5，所以BP＝13―5＝8．再根据△BPO∽△BCA，所以OP＝103，CQ＝203．当点Q与点B重合时（如图3），直径CQ最大，此时ＣＱ＝１２．综上所述，203≤CQ≤125.如图1，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为？简答：因为∠CFA=90°（定角），AC=43（定弦），故F在以AC为直径的⊙Q上，当E在B处时，F在G处，当E在D处时，F在A处，故F的运动路径为弧AG的长度，易求出∠ACD=30°，故∠AQG=60°，故弧AG长度=6023223=3603π6.（2013武汉）如图1，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是？简答：易证△ABE≌△DCF，△DAG≌△DCG，故∠DAG=∠DCG=∠ABE，又因为∠ABE+∠AEB=90°，故∠EAH+∠AEH=90°，故∠AHB=90°，故H在以AB为直径的⊙O上，当O、H、D三点共线的时候DH最小，DH=OD-OH=5-17.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D为线段AC上一动点，将△BDC沿着BD翻折，点C的对应点为F，E为AC的中点，在D从C到A的运动过程中，当EF最短时，CD为？简答：在折叠过程中，BF始终等于BC，故F到B点的距离是定值，F在⊙B上，当EF最短时，B、E、F三点共线（如图2），此时∠BFD=∠BCD=30°，∠FBD=∠CBD=15°（因为BE=CE，故∠EBC=∠BCE=30°），故∠FDH=∠CDH=45°，∠FED=60°，故FD⊥CE，EF=BF-BE=31，又因为DF=DC，在Rt△EDF中13122EDEF，故CD=1-ED=31331228.（2017宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在