概率(文科)

专题四概率与统计[必记公式]1．随机事件的概率范围：________________；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________________如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝________________，即P(A)＝________0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)．P(A)＋P(B)＝11－P(B)．2．古典概型的概率特点：有限性，等可能性．P(A)＝＝______________________.3．几何概型的概率特点：无限性，等可能性．P(A)＝_________________________________________.A中所含的基本事件数基本事件总数构成事件A的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积[重要结论]1．直方图的三个有用结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2．统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．(2)样本平均数x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)＝1n∑ni＝1xi；(3)样本方差s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]＝1n∑ni＝1(xi－x－)2；(4)样本标准差s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2]＝1n∑ni＝1xi－x－2.3．线性回归方程线性回归方程为y^＝b^x＋a^，一定过样本中心点(x－，y－)．例1(2016·贵州遵义联考)已知直线l1:x-2y-1=0,直线l2:ax-by+1=0,a,b∈{1,2,3,4},则直线l1与直线l2没有公共点的概率为()(A)14(B)16(C)18(D)316解析:(2)直线l1的斜率k1=12,直线l2的斜率k2=ab,设事件A为“直线l1与直线l2没有公共点”.a,b∈{1,2,3,4}的总事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种.若直线l1与直线l2没有公共点,则l1∥l2,即k1=k2,即b=2a.满足条件的实数对(a,b)有(1,2),(2,4)共2种情形.所以P(A)=216=18.即直线l1与直线l2没有公共点的概率为18.故选C.古典概型热点一【方法技巧】(1)解答有关古典概型的概率问题,关键是利用列举法正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,有时借助树状图或表格法求解.(2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,尤其是要注意基本事件是否与顺序相关,这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性.解析:(2)因为k=-ba≥-25,所以ba≤25.故符合(b,a)的为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6).故所求的概率为P=636=16.热点训练：(2016·河南郑州一模)抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那么直线bx+ay=1的斜率k≥-25的概率是.答案:(2)16几何概型热点二【例2】(1)(2013·四川卷,理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()(A)14(B)12(C)34(D)78解析:(1)设第一串彩灯亮的时刻为x,第二串彩灯亮的时刻为y,则04,04,xy要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒,则-2≤x-y≤2,如图,不等式组04,04xy所表示的平面区域面积为16,不等式组04,04,22xyxy所表示的平面区域(图中阴影部分)的面积为16-4=12,由几何概型的概率公式可得P=1216=34.故选C.(2)(2016·河南商丘一模)如图,圆C内切于扇形AOB,∠AOB=π3,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为()(A)16(B)13(C)23(D)34解析:(2)作辅助线OC,OD,∠AOB=π3,则∠COD=π6,设圆的半径为1,可得OC=2,所以扇形的半径为3,由几何概型,点在圆C内的概率为P=AOBSS圆C扇形=22π11π36=23.故选C.模拟方法求概率(2014·重庆卷,文15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)解析:设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为12×15×15=2252,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)=2252400=932答案:932【方法技巧】(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找与度量,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.(3)几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.热点训练2:(1)(2016·江西名校一调)已知b∈30xxx,则直线x+by=0与圆(x-2)2+y2=2相离概率为()(A)13(B)23(C)12(D)34解析:(1)b∈30xxx=(0,3],直线x+by=0与圆(x-2)2+y2=2相离,则有221b2⇒-1b1,结合b∈(0,3]得b∈(0,1),所求概率为P=1030=13.故选A.解析:(2)正方形内部以AB为直径的半圆的面积为S=12×π×12=π2,使∠AMB90°的点M在圆外,因此对应区域的面积为S′=S正方形ABCD-S=4-π2,所求概率为P=π424=1-π8.答案:(2)1-π8(2)(2016·湖北武汉华中师范附中5月适考)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB90°的概率为.【例2】(2015·北京卷,文17)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解:(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002001000=0.3.解:(3)与(1)同理,可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.【例3】甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计)即为中奖.乙商场:从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是2个红球,即为中奖.问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?解:如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πR2(R为圆盘的半径),阴影区域的面积为2415π360R=2π6R.所以在甲商场中奖的概率为P1=22π6πRR=16.如果顾客去乙商场,记盒子中3个白球为a1,a2,a3,3个红球为b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15种.摸到的2球都是红球的情况有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共3个.所以在乙商场中奖的概率为P2=315=15.因为P1P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大.热点突破热点一用样本估计总体【例1】(1)(2015·山东卷,文6)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(1)解析:由题中茎叶图,知x甲=26+28+29+31+315=29,s甲=222221262928292929312931195=3105;x乙=28+29+30+31+325=30,s乙=222221283029303030313032305=2.所以x甲x乙,s甲s乙,故选B.(2)(2016·北京卷,文17)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:①如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.(2)解:①由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.(2)解:②由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意,该市居民该月的人均水费估计为4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).【方法技巧】用样本估计总体的两种方法(1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计总体的频率分布.