27解线性方程组的高斯消元法

线性代数第二章矩阵线性方程组是线性代数研究的主要对象之一.在这一节里，我们讨论线性方程组的高斯消元解法，解的判定。2.7解线性方程组的高斯消元法※用克莱姆法则求解线性方程组时，必须满足：①方程的个数=未知量的个数；②系数矩阵的行列式不等于零。且计算量是比较大的.用消元法可以较方便的求解和讨论解的各种情况。对符合或不符合上面两个条件的一般的线性方程组，需考虑：①判别是否有解？②有解时，有多少解？③如何求出全部解？有无穷多解时，解之间的关系要用到3章的n维向量。一、线性方程组的概念本节讨论m个方程，n个未知量的线性方程组：11112211211222221122(1)nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb※当常数项不全为零时，称为非齐次的线性方程组，当常数项全为零时，称为齐次的线性方程组，即常数项111122121122221122000(2)nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax常数项定义2.12如果方程组中的未知量x1,x2,…,xn的一组x1=c1,x2=c2,…,xn=cn值代入方程组的每个方程，都成为恒等式，则称这组值为方程组的一组解；全部解的集合称为解集合（或解集）。定义2.22如果两个方程组的解集合相等，则称这两个方程组为同解方程组或两个方程组同解。12111212121121222212nnnmmmnmnnaaabaaabxxxxaaaxxxxxb线性方程组的解取决于,1,2,,ijaijn常数项系数1,2,,ibin性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究。线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组是否有解，有解时，解是什么等问题，完全由这个矩阵来确定。因此，对线12111212121121222212nnnmmmnmnnaaabaaabxxxxaaaxxxxxb11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab12111212121121222212nnnmmmnmnnaaabaaabxxxxaaaxxxxxb※线性方程组的矩阵形式系数和常数项按顺序构成如下的矩阵：对线性方程组111212122212,nnmmmnAaaaaaaaaa记12,nxxXx12,mbbBb方程组的等价矩阵形式为：.AXB111212122212,nnmmmnAaaaaaaaaa11121212221212.mnnmmmnaaaaaaAaabbab则称A为系数矩阵，A为增广矩阵；※线性方程组与增广矩阵一一对应。记12,nxxXx12,mbbBb下面讨论消元法：.AXBAB1.线性方程组的初等变换对线性方程方程组实施以下三种变换(1)交换某两个方程的位置；(2)用一个非零常数k乘某一个方程的两边；(3)将一个方程的k倍加到另一个方程上去.以上这三种变换称为线性方程组的初等变换.矩阵的初等变换由此推广，下面利用矩阵初等变换来解线性方程组。二、线性方程组的消元解法就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组(对应的增广矩阵为行阶梯形矩阵），从而求出其解。例1解下列线性方程组:123123123123x3243251123237xxxxxxxxxxx411133232521121372.消元法的具体做法及类型※考察唯一解时系数矩阵与增广矩阵秩的关系。解由初等变换有123123123123x3243251123237xxxxxxxxxxx4111332325211213723555xx2371xx07112371xx07110555000000231xx0111231xx2371xx0711011131x0011解得线性方程组解为：123201xxx问:(1)消元过程能否在增广矩阵上进行？(2)消元法是否将方程组化为同解方程组？因为线性方程组与相应的增广矩阵一一对应，且线性方程组的初等变换恰好对应其增广矩阵的初等行变换。所以，可以直接对增广矩阵进行初等行变换化为行简化形矩阵来求解线性方程组。如上例，1320110010004110ABA1000100011000200所以，方程组解是：123201xxx回代过程行最简形矩阵行最简形方程组※由行阶梯形方程组从后往前继续用初等变换化为行最简形方程组（对应的增广矩阵为行最简形矩阵）的过程，称为回代过程。AAB1000100011000200r(A)=3①有唯一解的情形r(A)=3=r(A│B)＝3(未知量的个数)，有唯一解。=r(A│B)例2解线性方程组7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx②有无穷多解的情形15111121333811119377AB解：因为15111012747470000000000行－－－－－－1037137137012747470000000000回代－－－行阶梯形矩阵行最简形矩阵15111121333811119377ABr(A)=2=r(A│B)4相应的同解线性方程组为：13423431313777244777xxxxxx＋＋－－13423413313777424777xxxxxx【x3,x4任取一组常数，可得到原方程组的一个解，称其为自由未知量】自由未知量令3142,xcxc，得方程组的全部解为241321241174727471373713cxcxccxccx其中c1，c2为任意常数。※②r(A)=r(A│B)＝24（未知量的个数）时，方程组有无穷多解。6323211523423x321321321321xxxxxxxxxxx63123112115-2342-31A1324011100660001例3解线性方程组解③无解的情形r(A)＝3，r(A│B)＝4【这是一个矛盾方程组，称“0＝1”为矛盾方程】相应的同解线性方程组为：12323332614106xxxxxx－－未知量的任何值都不能满足此方程所以，方程组无解。※③r(A)＝3，r(A│B)＝4，[r(A)=r(A│B)－1]或r(A)≠r(A│B)，则无解。例4求解齐次线性方程组123412341234202420.220xxxxxxxxxxxx＋4－解12110AB＝24-240-1-21-2012110002－1000000齐次线性方程组总有r(A)＝r(B)，总有零解。※齐次方程组系数矩阵与增广矩阵的秩永远相等。302021000-20001001相应的同解线性方程组为：124343202.102xxxxx令2142,xcxc，得方程组的全部解为11221324232212xccxcxcxc12,cc（为任意常数）自由未知量由行最简形矩阵可以方便求出线性方程组的解，下面证明线性方程组的初等变换化方程组为同解方程组。证明：只要证明一次初等行变换两方程组同解即可。定理2.9线性方程组AX＝B经行初等变换，化为同解线性方程组A1X＝B1。即注意到线性方程组初等变换就是对相应增广矩阵的行初等变换，于是存在初等矩阵R，使11RABAB1,RAA1.RBB所以，若X1为AX＝B的解，则AX1=B,两边乘R得，1,RAXRB111,AXBX1为A1X＝B1的解；于是，若X2为A1X＝B1的解，则A1X2＝B1，2RAXRB将，1R故X2也为AX＝B的解。因此，线性方程组AX＝B与A1X＝B1为同解线性方程组。11,RAARBB代入，得：两端乘，得：2AXB上面介绍了：()()rArAn()()rArAn()()rArA无解有无穷多解下面讨论一般线性方程组解的判别。1.线性方程组的高斯消元解法把方程组变换为同解方程组；2.消元解法解的情形：mnAXB有唯一解对一般线性方程组AX＝B，即11112211211222221122(1)nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb与齐次线性方程组AX＝0，即11112212112222112200(2)0nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax有如下重要结果：三、线性方程组解的判别()(),rArA证明定理2.10有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵n元线性方程组Am×nX=BAAB的秩，即并且：()()rArAn；（1）有唯一解的()();rArAn（2）有无穷多解的()()rArA（3）无解的或()1()rArA()rArrn设变换化的行阶梯形矩阵中A非零行数为r行。，则A由初等行12111112212211122100000000000000000000rrrrnrrnrrrnrraaaabaaabaabAbaaa不妨设该行阶梯形矩阵为(0,1,2,,)iiair相应的同解方程组为：不一定为01rb112211111122211221122111............................a.........................0.rrrrnnrrrrnnrrrrrnnrrrrxaxaxaxaxbxaxaxaxbxaxaxaabbr1b0r(A)r(A)rnr行所以，方程组AX=B:（1）有唯一解有解没有矛盾方程()()rArAr有解且没有自由未知量n－r个自由未知量矛盾方程r(A)r(A)rr1b0（2）有无穷多解（3）无解有解，且有自由未知量有矛盾方程n-1()()1rArA齐次线性方程组为方程组AX＝B的特殊情况，因此，由定理易知：111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax0AX11112212112222112200.........................................0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxn元齐次线性方程组推论1齐次线性方程组AX＝0：（2）只有零解.()rAn