2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第5讲抛物线

第5讲抛物线一、选择题1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.34B．1C.54D.74解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝3，∵p＝12，∴x1＋x2＝52，∴线段AB的中点的横坐标为x1＋x22＝54.答案C2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．4解析由y2＝2px，得抛物线准线方程x＝－p2，圆x2＋y2－6x－7＝0可化为(x－3)2＋y2＝16，由圆心到准线的距离等于半径得：3＋p2＝4，所以p＝2.答案C3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()．A.45B.35C．－35D．－45解析由y2＝4xy＝2x－4，得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA→|＝5，|FB→|＝2，FA→·FB→＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→||FB→|＝－85×2＝－45.故选D.答案D4．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()．A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解析∵x2a2－y2b2＝1的离心率为2，∴ca＝2，即c2a2＝a2＋b2a2＝4，∴ba＝3.x2＝2py的焦点坐标为0，p2，x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x.由题意，得p21＋32＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.答案D5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4＜r，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以有x20＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，所以x20＋(y0－2)2＝r2＞16，所以8y0＋(y0－2)2＞16，即有y20＋4y0－12＞0，解得y0＞2或y0＜－6，又因为y0≥0，所以y0＞2.答案C6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22解析由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝22.设AB的方程为x－1＝ty，由y2＝4x，x－1＝ty消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－2，x2＝12，∴S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝322，故选C.答案C二、填空题7．设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．解析依题意，有Fa4，0，直线l为y＝x－a4，所以A0，－a4，△OAF的面积为12×a4×a4＝8.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16.答案168．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．答案269．过抛物线y＝8x2的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4.又∵y＝8x2即x2＝18y，∴2p＝18，p＝116，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝6516.[来源:Zxxk.Com]答案651610．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若FA→＋2FB→＝0，则|FA→|＋2|FB→|＝________.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点弦性质，y1y2＝－p2(*)，由题FA→＋2FB→＝0，得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0,0)，∴y1＋2y2＝0，代入(*)式得－y212＝－p2，∴y21＝2p2，∴x1＝p22＝2，∴|FA→|＝x1＋p2＝3，又∵|FA→|＝2|FB→|，∴2|FB→|＝3，∴|FA→|＋2|FB→|＝6.[来K]答案6三、解答题11．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解(1)由e＝ca＝1－b2a2＝33，得ba＝63.又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝2，则a＝3.(2)法一由c＝a2－b2＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.12．已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵AP→＝λAQ→，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y21＝λ2y22，y21＝4x1，y22＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝1λ，x1＝λ，又F(1,0)，∴MF→＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λ1λ－1，y2＝λFQ→，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)由(1)知x2＝1λ，x1＝λ，得x1x2＝1，y21·y22＝16x1x2＝16，∵y1y20，∴y1y2＝4，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x21＋x22＋y21＋y22－2(x1x2＋y1y2)＝λ＋1λ2＋4λ＋1λ－12＝λ＋1λ＋22－16，λ∈13，12，λ＋1λ∈52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.13．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝2p.因为△ABD的面积为42，所以12|BD|·d＝42，即12·2p·2p＝42，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－233px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.14．如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m＞0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．(1)设点P满足AP→＝λPB→(λ为实数)，证明：QP→⊥(QA→－λQB→)；(2)设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．解(1)证明：依题意，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程x2＝4y，得：x2－4kx－4m＝0①设A、B两点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以，x1x2＝－4m.由点P满足AP→＝λPB→(λ为实数，λ≠－1)，得x1＋λx21＋λ＝0，即λ＝－x1x2.又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0，－m)，从而QP→＝(0,2m)．QA→－λ·QB→＝(x1，y1＋m)－λ(x2，y2＋m)＝(x1－λx2，y1－λy2＋(1－λ)m)．QP→·(QA→－λQB→)＝2m[y1－λy2＋(1－λ)m]＝2mx214＋x1x2·x224＋1＋x1x2m＝2m(x1＋x2)·x1x2＋4m4x2＝2m(x1＋x2)·－4m＋4m4x2＝0，所以QP→⊥(QA→－λQB→)．(2)由x－2y＋12＝0x2＝4y得点A、B的坐标分别是(6,9)，(－4,4)．由x2＝4y得y＝14x2，y′＝12x，所以，抛物线x2＝4y在点A处切线的斜率为y′|x＝6＝3.设圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则b－9a－6＝－13a－62＋b－92＝a＋42＋b－42解得：a＝－32，b＝232，r2＝(a＋4)2＋(b－4)2＝1252.所以，圆C的方程是x＋322＋y－2322＝1252.