2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题04导数的应用

【2015年高考考纲解读】2015高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.【重点、难点剖析】1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c[来源:学优高考网]f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈R)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的四则运算①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；③uxvx′＝u′xvx－uxv′x[vx]2(v(x)≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为f′(x)≥0恒成立，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．6．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件.【高频考点】考点1、导数的几何意义【例1】(1)(2014·全国大纲卷)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义．(2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力．【答案】(1)C(2)－3【感悟提升】1．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．【变式探究】已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P(2,0)处的切线方程是________．【答案】x－y－2＝0【方法技巧】函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．【变式探究】(1)若曲线f(x)＝x，g(x)＝xa在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为________．(2)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0,0)，则过点P的曲线S的切线方程为________．【答案】(1)－2(2)y＝4x或y＝358x＋2x0＋4，又kPQ＝y0x0，∴－2x20＋2x0＋4＝y0x0，①点Q在曲线S上，y0＝－23x30＋x20＋4x0，②将②代入①得－2x20＋2x0＋4＝－23x30＋x20＋4x0x0，化简，得43x30－x20＝0，∴x0＝0或x0＝34，若x0＝0，则k＝4，过点P的切线方程为y＝4x；若x0＝34，则k＝358，过点P的切线方程为y＝358x.∴过点P的曲线S的切线方程为y＝4x或y＝358x.考点2、利用导数研究函数的单调性【例2】(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414221.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001)．[来源:学优高考网]【命题意图】本题主要考查导数的综合应用，涉及利用导数求函数的单调区间、求函数的最值、估计无理数的近似值等，考查基本不等式的应用与分类讨论思想的应用，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力与对知识的综合应用能力．【答案】（1）f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．(2)2.(3)0.693.①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x0，g(x)0；②当b2时，若x满足2ex＋e－x2b－2，即0xln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)0.而g(0)＝0，因此当0xln(b－1＋b2－2b)时，g(x)0.[来源:学优高考网]综上，b的最大值为2.【感悟提升】1．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x);第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f′(x)．(2)将单调性转化为导数f′(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．【变式探究】已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，a∈R.(1)当a＝－1时，求函数的单调区间；(2)当0≤a12时，讨论f(x)的单调性．【答案】(1)当a＝－1时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)当a＝0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0a12时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在1，1a－1上单调递增，在1a－1，＋∞上单调递减．(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，学优高考网所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，g(x)0，此时f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，此时f′(x)0，函数f(x)单调递增．【规律方法】讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．【变式探究】设函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)在点M(e，f(e))处的切线方程；(2)设F(x)＝ax2－(a＋2)x＋f′(x)(a0)，讨论函数F(x)的单调性．【答案】（1）y＝2x－e.(2)①当0a2,F(x)在0，12，1a，＋∞上单调递增，在12，1a上单调递减．②当a＝2,F(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a2，即1a12时，同理可得F(x)在0，1a，12，＋∞上单调递增，在1a，12上单调递减．【解析】解(1)f′(x)＝lnx＋1(x0)，则函数f(x)在点M(e，f(e))处的切线的斜率为f′(e)＝2，又f(e)＝e，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.(2)F(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx＋1(x0)，F′(x)＝2ax－(a＋2)＋1x＝2ax2－a＋2x＋1x＝2x－1ax－1x(x0，a0)，令F′(x)＝0，则x＝12或1a，在12，1a上单调递减．考点3、利用导数研究函数的极值与最值【例3】(2014·山东)设函数f(x)＝exx2－k2x＋lnx(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数与函数的单调性的关系、导数与函数极值的关系等基础知识，考查分类与整合、化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想方法，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，分析问题、解决问题的能力．【审题策略】(1)求出函数f(x)的导函数f′(x)＝x－2ex－kxx3，根据函数的定义域和k≤0即可确定f(x)的单调区间．(2)构造函数g(x)＝ex－kx后研究其性质，可找到实数k满足的不等式，解不等式即可得出k的取值范围．【解析】(1)函数y＝f(x)的定义域为0，＋∞①.②(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k＞0时，学优高考网设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)．函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当g0＞0，glnk＜0，g2＞0，0＜lnk＜2.③解得e＜k＜e22，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为e，e22.【变式探究】(2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【答案】(1)x＋y－2＝0.(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.【解析】解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.考点四定积分例4、(1)(2014·陕西)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1(2)(2014·湖北)若函数f(x)，g(x)满足-11f