2015步步高高中数学文科文档第六章6.2

§6.2等差数列及其前n项和1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3.等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(√)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(×)(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列.(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(√)2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.24答案B解析因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.3.(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A.58B.88C.143D.176答案B解析S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝88.4.(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋mm－12d＝0，故a1＝－m－12，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.5.(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.答案－49解析由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝103.两式相减得a15－a10＝103＝5d，∴d＝23，a1＝－3.∴nSn＝n·na1＋nn－12d＝n3－10n23＝f(n)，令f(x)＝x3－10x23，x0，f′(x)＝13x(3x－20).令f′(x)＝0得x＝0(舍)或x＝203.当x203时，f(x)是单调递增的；当0x203时，f(x)是单调递减的.故当n＝7时，f(n)取最小值，f(n)min＝－49.∴nSn的最小值为－49.题型一等差数列的基本运算例1在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值.思维启迪等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差.解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A.12B.13C.14D.15(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A.16B.24C.36D.48(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3答案(1)B(2)D(3)C解析(1)由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.(2)∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.(3)∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.题型二等差数列的性质及应用例2(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A.63B.45C.36D.27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A.2013B.－2013C.－4026D.4026思维启迪(1)根据S3，S6－S3，S9－S6为等差数列解此题；(2)利用a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2求n；(3)数列{Snn}为等差数列.答案(1)B(2)A(3)C解析(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列.即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝na1＋an2＝n·602＝390，即n＝13.(3)由等差数列的性质可得{Snn}也为等差数列.又∵S20142014－S20082008＝6d＝6，∴d＝1.故S20132013＝S11＋2012d＝－2014＋2012＝－2，∴S2013＝－2×2013＝－4026，故选C.思维升华在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Snn}也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A.14B.21C.28D.35(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)C(2)60解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.题型三等差数列的前n项和及其最值例3(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和.思维启迪(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.解(1)方法一∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，∴d＝－53.∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653.∴a13＝0，即当n≤12时，an0，n≥14时，an0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋12×112×－53＝130.方法二同方法一求得d＝－53.∴Sn＝20n＋nn－12·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三同方法一求得d＝－53.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令an＝4n－250，①an＋1＝4n＋1－25≥0，②由①得n614；由②得n≥514，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则Tn＝21n＋nn－12×－4n≤666＋3n－6＋n－6n－72×4n≥7＝－2n2＋23nn≤6，2n2－23n＋132n≥7.思维升华求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A.6B.7C.8D.9(2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若ak＋a4＝0，则k＝________.答案(1)A(2)10解析(1)设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，所以Sn＝－11n＋nn－12×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以当Sn取最小值时，n＝6.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0.而ak＋a4＝0，故k＝10.等差数列的最值问题典例：(15分)(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.(3)设数列{an}是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为()A.5B.6C.5或6D.11思维启迪(1)由已知分析等差数列项的变化规律、符号.(2)等差数列前n项的和Sn是关于n的二次函数，可将Sn的最大值转化为求二次函数的最值问题.(3)根据条件确定数列最后的非负项.解析(1)依题意得2a