2015步步高高中数学理科文档第十二章12.6

§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe22ó2)(ux，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ0，μ∈R)．我们称函数φμ、σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(√)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于()A．5B．8C．10D．16答案B解析∵E(ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，则a等于()A．3B.53C．5D.73答案D解析因为ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，∴2a－3＋a＋2＝6，a＝73，故选D.4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.答案916解析由题意知取到次品的概率为14，∴X～B(3，14)，∴D(X)＝3×14×(1－14)＝916.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．答案0.7解析E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，D(η)＝59，求a∶b∶c.思维启迪首先列出随机变量ξ的所有可能的取值，然后计算ξ的每个取值的概率．解(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ23456P141351819136(2)由题意知η的分布列为Η123Paa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c所以E(η)＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，D(η)＝1－532·aa＋b＋c＋2－532·ba＋b＋c＋3－532·ca＋b＋c＝59.化简得2a－b－4c＝0，a＋4b－11c＝0.解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意性质的应用：若随机变量X的期望为E(X)，则对应随机变量aX＋b的期望是aE(X)＋b，方差为a2D(X)．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)ξ的分布列为ξ01234P1212011032015∴E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2，或a＝－2，b＝4.题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．思维启迪利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950，解得p＝15.(2)由题意，得P(ξ＝0)＝C031103＝11000，P(ξ＝1)＝C131102×1－110＝271000，P(ξ＝2)＝C23×110×1－1102＝2431000，P(ξ＝3)＝C331－1103＝7291000.所以，随机变量ξ的分布列为ξ0123P1100027100024310007291000故随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×11000＋1×271000＋2×2431000＋3×7291000＝2710.(或∵ξ～B(3，910)，∴E(ξ)＝3×910＝2710.)思维升华求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．解(1)记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，P(A)＝C15C210C315＝4591.(2)依据条件，ξ服从超几何分布：其中N＝15，M＝5，n＝3，ξ的可能值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ck5C3－k10C315(k＝0,1,2,3)，其分布列为(3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P＝1015＝23，一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B(360，23)，∴E(η)＝360×23＝240，∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级．题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．思维启迪本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．解依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的12×68.26%＝34.13%.设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．思维升华解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率．利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．解(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80ξ≤120)＝P(100－20ξ≤100＋20)＝0.9544，即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544.(2)P(90ξ≤110)＝P(100－10ξ≤100＋10)＝0.6826，∴P(ξ110)＝12(1－0.6826)＝0.1587，∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.∴及格人数为2000×0.8413≈1683(人)．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P2的值；(3)设P2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中