314空间向量的正交分解及其坐标表示315坐标运算

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。＋＝，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ij复习：),(yxa两两垂直的单位向量与ji问题：p我们知道，平面内的任意一个向量=op都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abxyzOijkQPp.OPOQzk.OQxiyj.OPOQzkxiyjzk在空间中，能否得出类似的结论由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。,,ijkp,,xiyjzk,,ijkpjzjxixp探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？,,ijk任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。xyzOijkQPp.OPOQzk.OQxiyj.OPOQzkxiyjzk由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。,,ijkp.pxiyjzk,,xiyjzk,,ijkp,,ijk特殊的：两两垂直时这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.一、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xe1+ye2+ze3在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ空间向量基本定理的考查例1例2、1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，22132eeeAB321eee、、AB空间直角坐标的考查1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习2空间向量运算的坐标表示,则设123123(,,),(,,)aaaabbbbababaab//abab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)()aaaR112233ababab112233,,()abababR1122330.(,)abababab都不是零向量一、向量的直角坐标运算若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。已知(,,)axyz,则222axyz||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()ABdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab已知111222(,,),(,,)axyzbxyz则121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz思考：当及时，夹角在什么范围内？1cos,0ab,10cosab3.中点坐标公式已知111222(,,),(,,)AxyzBxyz则线段AB的中点坐标为121212(,,)222xxyyzz例1．已知(2,3,5),(3,1,4),,||,8,abababaaab求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab222||2(3)538a88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29ab解:三、应用举例三、应用举例例2已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则(,,)MxyzAB113()(3,3,1)1,0,52,,3,222OMOAOB∴点的坐标是.M32,,32222,(13)(03)(51)29.ABdOABM（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。、AB(,,)Pxyz,,xyz解：点到的距离相等，则(,,)Pxyz、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得46870xyz即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是、AB(,,)xyz46870xyzF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE例1如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF，，1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，例2如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA证明:设正方体的棱长为1,1,,.DAiDCjDDk建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,,1),2ADDF则11(1,0,0)(0,,1)0.2ADDF1.ADDF1(0,1,),2AE又111(0,1,)(0,,1)0.22AEDF1.AEDF又ADAE=A,1.DFADE平面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FADAEAD1另证可以用三垂线定理证D得证例3.在正方体1111ABCDABCD中,EF、分别是1BBCD、的中点,求证:1DFADE平面.证明：设11111CBaCDbCCc，，,则1112BCcaCOab，（）,例4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1.abc112ODODcbac（）,若存在实数,xy,使得11BCxODyOC成立，则11112222caxbacyabxyaxybxc（）（）（）（）∵abc，，不同面，∴121211011xyxxyyx（）（）即∴11BCODOC，∵11BCODOC，，为共面向量,且111BCODOCODC不在，所确定的平面内∴1111////.BCODCBCODC平面，即平面小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。