323立体几何中的向量方法空间“角”问题

3.2.3立体几何中的向量方法——空间“角”问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角复习回顾•直线的方向向量•平面的法向量•设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则(1)a·b＝.a1b1＋a2b2＋a3b3•设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n1、n2.则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔⇔.⑵l1⊥l2⇔⇔.⑶α∥β或α与β重合⇔⇔.⑷α⊥β⇔⇔.⑸l∥α或l⊂α⇔⇔.⑹l⊥α⇔⇔.复习回顾a∥ba＝tba⊥ba·b＝0n1∥n2n1＝tn2n1＝tan1∥an1⊥n2n1·n2＝0n1⊥an1·a＝0ABCD6SAABCDSA=8,MSAMBCSDN.如图所示，四边形是边长为的正方形，平面，是的中点，过和的平面交于引例：(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值；(2)求CN与平面ABCD所成角的正切值；(3)求CN与BD所成角的余弦值；求平面SBC与SDC所成角的正弦值范围：0,2ABCD1D||一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：coscos,CDAB||xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1①传统法：平移例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010练习：090,中，现将沿着RtABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC111111取、的中点、，ABACDF[悟一法]利用向量求异面直线所成的角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．直线与平面所成角的范围：[0,]2结论：sin|cos,|nAB二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AOBn例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②传统法ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6(NAMA由的法向量设平面),,,(zyxn00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.练习：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34,1,1(n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD又ADANM与平面所成角的正弦值是34343在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.练习：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADAB[悟一法]利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB:[0,]范围三、面面角：ll三、面面角：向量法1n1n2n2n12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn关键：观察二面角的范围21,coscosnn结论：①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得1DADCDD、、1(200)(020)(001)(222)(110)ACMBO，，，，，，，，，，，，，，。1(201)(021)(112)MAMCBO所以，，，，，，，，1120200220BOMABOMC，11BOMABOMC所以，11BOMABOMCMAMCC即，。又1BOMAC所以平面例3.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.1111DCBAABCD1DDOB11BMACB1A1C1D1DCBAOMxyz②1BOMAC由知平面①B1A1C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(200)(001)(222)AMB由，，，，，，，，得1()BMAnxyz设平面的一个法向量为，，1(201)(221)MAMB，，，，，10020021-2220nMAnMBxzzxyxyz所以，即取=得=，=1(122)BMAn所以平面的一个法向量为，，1(112)BO且，，11246cos669BOn，166BMAC所以二面角的余弦值为。由图可知二面角为锐角[悟一法]利用法向量求二面角的步骤(1)确定二个平面的法向量；(2)求两个法向量夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现．练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；020zxyx令x=1，则y=1，z=2；从而)2,1,1(n36612,cossinnOSnOSnOS（2）设面SAB的法向量),,(zyxnSAnABn,显然有OABCSxyzOBSAOBSAOBSA⑶,cos.510252⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）1n又∵OC⊥面AOS，OC∴是面AOS的法向量，令)0,1,0(2OCn则有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角的大小等于21,nnOABCSxyz∴二面角B－AS－O的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510课堂小结：1.异面直线所成角：coscos,CDAB||CDAB1D2.直线与平面所成角：sincos,nAB||nOBA3.二面角：cos12|cos,|nncos12|cos,|nn关键：观察二面角的范围2n1n