2015高考数学总复习第11章第9节离散型随机变量的均值与方差课时跟踪检测理(含解析)

1【优化指导】2015高考数学总复习第11章第9节离散型随机变量的均值与方差课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．已知X的分布列为X－101P161312设Y＝3X＋2，则E(Y)的值为()A．3B．4C．－1D．1解析：选AE(X)＝12－16＝13，E(Y)＝E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝1＋2＝3.2．某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且E(ξ)＝1.5，则P(ξ≥2)的值为()ξ0123P0.1ab0.1A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5解析：选D由条件得0.1＋a＋b＋0.1＝10×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5解得a＝0.4，b＝0.4所以P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.5.故选D.3．(2014·开封高中月考)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝13，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝()A．6B．9C．3D．4解析：选A由E(ξ)＝13×(1＋2＋3)＝2，得D(ξ)＝23，D(3ξ＋5)＝32×D(ξ)＝6，故选A.4．某种种子每粒发芽的概率都为p，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒2需再补种2粒，补种的种子数记为X，若X的数学期望为200，则该种种子的发芽率为()A．0.1B．0.7C．0.8D．0.9解析：选D由题意知，种子的发芽率为p，不发芽率为1－p，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,1－p)，∴E(ξ)＝1000×(1－p)，故需补种的种子数的数学期望为2E(ξ)＝2000×(1－p)＝E(X)＝200，得p＝0.9.5.(2013·湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.126125B.65C.168125D.75解析：选B由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.由于P(X＝0)＝27125，P(X＝1)＝54125，P(X＝2)＝36125，P(X＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.选B.6．某射手对同一目标独立射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则该射手这四次射击命中的均值是()A．2B.73C.83D．3解析：选C设此射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，则ξ～B(4，p)，依题意可知，P(ξ≥1)＝8081，∴1－P(ξ＝0)＝1－C04(1－p)4＝8081，整理得(1－p)4＝181，解得p＝23.则均值E(ξ)＝np＝4×23＝83.7．(2014·太原五中统考)袋中有大小、质地均相同的4个红球与2个白球．若从中有3放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则ξ的期望E(ξ)＝________.解析：4依题意得，ξ的可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6，且每次取球取出红球的概率均是44＋2＝23，故ξ～B6，23，因此E(ξ)＝6×23＝4.8．(2014·银川一中月考)已知ξ的分布列为：ξ－101P1213a且设η＝2ξ＋3，则η的均值为________．解析：73由12＋13＋a＝1得a＝16，∴E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×a＝－12＋16＝－13，∴E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×－13＋3＝73.9．设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝59，则X的数学期望E(X)＝________.解析：23因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝59，解得p＝13.故E(X)＝np＝2×13＝23.10．(2014·宁波质检)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则D(X)＝______.解析：1318由题意知，13×(1－p)2＝112，解得p＝12，∴P(X＝1)＝23×1－122＋13×12×1－12＋13×1－12×12＝13，P(X＝2)＝23×12×1－12＋23×1－12×12＋13×12×12＝512，P(X＝3)＝23×122＝16，∴E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53，∴D(X)＝112×0－532＋13×1－532＋512×2－532＋16×3－532＝1318.11．(2012·四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，4系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950.解得p＝15.(2)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C031103＝11000，P(ξ＝1)＝C131102·1－110＝271000，P(ξ＝2)＝C23110·1－1102＝2431000，P(ξ＝3)＝C331－1103＝7291000.所以随机变量ξ的概率分布列为ξ0123P1100027100024310007291000∴E(ξ)＝0×11000＋1×271000＋2×2431000＋3×7291000＝2710.12．(2014·江西师大附中、鹰潭一中联考)小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1，则P1＝452×14＋34×14＝725.5(2)X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝15＋45×15＝925，P(X＝1000)＝452×14＋34×14＝725，P(X＝3000)＝452×342×132＋23×132×2＝725，P(X＝6000)＝452×342×232＋C12232×13＝415，所以X的分布列为X0100030006000P925725775415所以E(X)＝0×925＋1000×725＋3000×775＋6000×415＝2160.1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16解析：选D设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a＝2b时等号成立，选D.2．(2014·哈尔滨调研)设离散型随机变量ξ的分布列为ξ1020306P0.6a0.1则D(ξ)＝()A．55B．30C．15D．45解析：选D由题意得a＝0.3.所以E(ξ)＝10×0.6＋20×0.3＋30×0.1＝6＋6＋3＝15；D(ξ)＝(10－15)2×0.6＋(20－15)2×0.3＋(30－15)2×0.1＝25×0.6＋25×0.3＋225×0.1＝15＋7.5＋22.5＝45，故选D.3．(2014·黄冈质检)某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得10分，答错得0分．某同学参加了此次竞答活动，且该同学答对每个题的概率为13.记该同学的最后得分为X，则E(X)为________．解析：40081X的所有可能取值为0,10,20,30,40.P(X＝0)＝1－13＝23，P(X＝10)＝13×1－13＝29，P(X＝20)＝132×1－13＝227，P(X＝30)＝133×1－13＝281，P(X＝40)＝134＝181.所以X的分布列为X010203040P2329227281181则E(X)＝0×23＋10×29＋20×227＋30×281＋40×181＝40081.4．(2014·温州十联合体测试)在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数．(1)求x，y，z依次成公差大于0的等差数列的概率；7(2)记ξ＝x＋y，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．解析：(1)x，y，z依次成公差大于0的等差数列，即甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0,1,2，此时的概率P＝C13×13×122＝14.(2)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝123＝18；P(ξ＝1)＝C13×16×122＋C13×13×122＝18＋14＝38；P(ξ＝2)＝A33×16×13×12＋C23×132×12＋C23×162×12＝38；P(ξ＝3)＝163＋133＋C23×162×13＋C23×16×132＝18.所以随机变量ξ的概率分布列ξ0123P18383818所以E(ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.