31导数概念及应用

2017届高三理科数学一轮复习学案导数的概念及其运算组编：崔艳琳审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第1页3.1导数的概念及其运算知识精要1．导数与导函数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．5．复合函数的导数2017届高三理科数学一轮复习学案函数的图像组编：肖学勇审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第2页复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)基础自测1.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()2．有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.1343．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(π2)sinx＋cosx，则f′(π4)＝________.5．(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．2017届高三理科数学一轮复习学案导数的概念及其运算组编：崔艳琳审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第3页题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1；(5)y＝ln(2x－5)．变式：给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.题型二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．命题点2未知切点的切线方程问题例3已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0命题点3和切线有关的参数问题例4已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于()2017届高三理科数学一轮复习学案函数的图像组编：肖学勇审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第4页A．－1B．－3C．－4D．－2命题点4导数与函数图象的关系例5如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()变式：(1)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′(π4)，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．DDA答案－2(1,1)例1.变式①②③例213例3B例4D例5D变式：(1)C(2)－e(时间：35分钟)2017届高三理科数学一轮复习学案导数的概念及其运算组编：崔艳琳审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第5页1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1D．e2．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.1eD．－1e3．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2016(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()A．0B．1C．2D．35．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于()A．－1B．0C．2D．46．已知曲线y＝1ex＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝07．点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.32C.52D.28．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．29．过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条2017届高三理科数学一轮复习学案函数的图像组编：肖学勇审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第6页10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．11．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．12设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．13已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．14.已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1＋log2015x2＋…＋log2015x2014的值为________．15．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．2017届高三理科数学一轮复习学案导数的概念及其运算组编：崔艳琳审核：张玲只有超常的付出，才会有奇迹的发生！第7页BCBDBADCA答案－3923π4，π－1