31矩形谐振腔

3.1矩形谐振腔RectangularResonator如果说微波传输线充当低频的R、L、C部件，那么微波谐振腔相当于低频振荡电路。这是振荡器、滤波器和耦合器应用中所必须涉及的。介质抽量波长计灵敏测量波滤谐振腔频选图3-1谐振腔应用讨论谐振腔的主要指标是谐振频率0、品质因数Q和电导G。谐振腔的讨论思路是:理想腔—耦合腔—非理想腔，如图(31-2)所示。在研究谐振频率f0时，采用不计及腔损耗，即腔壁由理想导体构成。但是，当研究Q时,则必须考虑损耗的因素。耦合腔和实际腔反映了谐振腔的具体应用。第31章矩形谐振腔RectangularResonator一、谐振频率0谐振腔中谐振频率0(或f0)和谐振波长0是最基本参数，但是要注意0是不变量，而0则与媒质r0有关。在一个封闭系统中，电能与磁能相等称之为谐振。谐振腔的规律同样服从Maxwell方程组，可导出Helmholtz方程。220EkE(31-1)CGoLCGGoLCGoL理想腔耦合腔非理想腔G-介质QG0图3-2谐振腔研究的思路框图一、谐振频率0但是在求解中,它与传输线不同。在传输线中z是优势方向:即。从概念上讲：x、y方向是驻波，而z方向假定是行波。xy0-zx0-zydEdxkEdEdykEdEdzEkkkkkxyxyzz222222222222222000dEdxkEdEdykEdEdzkEkkkkxyxxyz2222222222222000传输线谐振腔一、谐振频率0可见,谐振腔在三个方向都是纯驻波，而传输线kc是二维谐振。传输线—二维kc传输腔—三维k图3-3二维谐振和三维谐振一、谐振频率0从这个意义上看谐振频率0是问题的本征值，而对应的场分布则是本征矢量。ElcllEkEEEEkEEE222200LL所以我们可以进一步深入地用本征值问题加以讨论。在填充空气的条件下kc200一、谐振频率0(3-2)(3-3)进一步,如果讨论的是传输型谐振腔，即lpp(,,,)123则有002222111112gcpl一、谐振频率0(3-4)(3-5)二、品质因数Q0品质因数又称Q值，它反映谐振腔储能与损耗之间的关系。QW表示谐振腔的平均储能，WT表示一个周期T内谐振腔的能量损耗。WT=TPL，PL表示一个周期内平均损耗功率。式(31-6)对于低频和高频均适用的。平均储能在谐振时有一特点，即腔内所储的电能等于所储的磁能。(3-6)122||而导体壁损耗PJRdsRHdsLssSsS121222||||式中Rs是表面电阻率，为切向磁场。因此，有限电导率所对应的谐振腔Q值QRHdvHdsHdvHdssVSVS0022222||||||||RHs02,二、品质因数Q0(3-7)(3-8)(3-9)其中集肤深度。作估值公式，令02||~||HH2212QVS01可以知道，小、V/S大，是Q0大的先决条件。理想腔的品质因数也称为固有品质因数Q0(或无载Q值)。Q无量纲,只与媒质、腔体几何形状和波型有关。事实上可以有很多损耗源，例如PPLLiin1二、品质因数Q0(3-10)(3-11)于是也可以定义各种损耗因素所对应的Q11011QPWQLiiinin其中，Qi=0W/PLi对应第i个损耗源的Q值。除了导电壁的Q值以外，最普遍的是介质对应的Qd。这时储能和损耗功率分别是WEdVPEdVVLV1212202二、品质因数Q0(3-12)(3-13)~'jQWPtgdL01于是可见,均匀分布的介质Q值(31-14)是一个普适的公式，它与波型无关。现在，我们进一步引进复频率，令~01j~于是内部场可写成EEeEeemjtmjtt~000二、品质因数Q0(3-14)(3-15)(3-16)复频率相当于场衰减。于是能量可写成~WWemt20损耗功率，于是PdWdtLdWPdtWQdtL0另外，根据式(31-17)，导出dWWdt20比较(31-18)和(31-19)很清楚二、品质因数Q0(3-17)(3-18)(3-19)12Q这样，引入复频率，可以把谐振频率和值包含在一个公式之中~0112jQ由于复频率的引入,使我们可以采用复变函数的理论工具研究谐振腔。二、品质因数Q0(3-20)(3-21)三、等效电导G0等效电导G0用来统一表征谐振系统的损耗PGULm1202或者写出，若选定GPULm022图3-4谐振腔等效电导G0(3-22)UEdlmmab则有GRHdEdlSab022由于在微波谐振腔中,电压Um定义的不唯一性,所以现代微波理论中对于G0这个参量已经比较淡化(只有在TEM波，例如同轴腔才使用)，而强调ω0和Q这两个参量。三、等效电导G0(3-23)(3-24)四、矩形腔TE101模的场和λ0矩形腔TE101模是最基本而重要的模式，它是由传输线TE10模在z方向加两块短路板而构成的金属封闭盒。图3-5矩形TE101模已经知道，TE10模中EExaeymjzsin首先在z=0处放一块金属板(全反射),则有EExaeejExaymjzjzmsinsinsinz2令E0=2jEm而且在处放一块金属板(全反射)，即。这时有212gpp,,(3-25)(3-26)四、矩形腔TE101模的场和λ0zlsinl0minlg122gl，其中，这时对应。则lpg12p1所以，TE101模Ey最终写成EEaxlzy0sinsin现在采用Maxwell方程组解出(3-27)四、矩形腔TE101模的场和λ0EjHHjijkxyzEHjEzjElxazljElxazlHjyxyz0000000100121sincossincos=ExjEaxazljEaxazly0002cossincossin四、矩形腔TE101模的场和λ0归纳起来TE101模的场EEaxlzHjEaxazlHjEaxazlyxz0000022sinsinsincoscossin(3-28)四、矩形腔TE101模的场和λ0从概念上来考察矩形波导，Ey和Hz在z方向行波同时出现最大值；而TE101模中，，最大值对应最小值。在相位方面，Ey和只差一负号，使有行波传输的实功率；而TE101模中相位差90°，因此Sz只有虚功率。如果研究Ey和Hz也有类似情况。zlEysin~zaHzcos~SEHzyz12四、矩形腔TE101模的场和λ0由于kkkkalxyz202222222可知0222alal其场结构如图31-6所示。值得提出：如果是TE10p模，只要作代换即可，这时有llpl0222alpal(3-29)(3-30)四、矩形腔TE101模的场和λ0图3-6TE101模的场结构四、矩形腔TE101模的场和λ0五、TE101模的Q值WWEdvEaxlzdxdydzablEeablVmaxsinsin1212182022202000计算导体Q值时有六个面需要考虑PRHdxdyHdydzHHdxdzHdxdyElxadxdyEablLexzzxxzalblabxzabab12222122242020222000000020220220202220000()sin()2224322200202202200002022222020222HdydzElxadydzEblaHHdxdzElxazldxdzzbxbllxzsin()sincos00000202220202200228alalalEaxazldxdzEalla+cossin(3-31)结合上面三种情况可知PREablblaallaLs0220222812代入Q值公式QablEREablblaallakQablRablblalaalalalQalbRsss0002022022200000322022022328812221224/alablblaalla222212五、TE101模的Q值最后得到QRbalalalbals022322233422[]()()/［例］铜制矩形腔尺寸a=l=2cm，b=1cm,TE101模，空气填充，求Q0值［解］fcal0222111062.GHzRQs0202269107780.(3-32)五、TE101模的Q值