3二元一次不等式与线性规划(精)

二元一次不等式与线性规划（1）二元一次不等式表示平面区域:先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式1yx＞0的解为坐标的点的集合}01|),{(yxyx所在的平面区域.由01yx得1xy,令100xyy,则点),(00yx在直线1xy,即01yx上,点),(0yx在点),(00yx的上方,即在直线01yx的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式01yx的解为坐标的点的集合}01|,{yxyx是在直线01yx右上方的平面区域.一般地,二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示直线0CByAx某一侧所有点组成的平面区域.说明:①二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示直线0CByAx某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上,}0|),{(}0|),{(}0|),{(CByAxyxCByAxyxCByAxyx②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明.①判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法1:记住下列一般性结论:(1)若0B,则0CByAx表示直线0CByAx上方的平面区域.0CByAx表示直线0CByAx下方的平面区域.(2)若0B,则0CByAx表示直线0CByAx下方的平面区域.0CByAx表示直线0CByAx上方的平面区域.(3)若0,0AB,则0CAx表示直线0CAx右侧的平面区域.0CAx表示直线0CAx左侧的平面区域.若0,0AB,则0CAx表示直线0CAx左侧的平面区域.0CAx表示直线0CAx右侧的平面区域.方法2:取特殊点检验;原因:由于对在直线0CByAx的同一侧的所有点),(yx,把它的坐标),(yx代入CByAx,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00yx,从CByAx00的正负即可判断0CByAx表示直线哪一侧的平面区域.②特殊地,当0C时,常取原点检验.对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤:①先依不等式作直线,注意虚实;②取点:在直线的某一侧取一点;③确定符号,即确定直线某一侧的符号;④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.（2）线性规划问题：引例:已知qpxxf2)(且5)2(1,1)1(4ff,求)3(f的取值范围.错解:由71,3054114qpqpqp而qpf9)3(利用不等式性质得269)3(7qpf.正解:由3434)2()1(qpqpfqpf而35389)3(,51,14qpf所以]20,1[)3(f错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了.①基本概念：设yxz2,式中变量满足下列条件:1255334xyxyx,求z的最大值和最小值.线性规划的基本概念:1.线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量nxxx,,,21的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量yx,的约束条件,这组约束条件都是关于yx,的一次不等式,故又称线性约束条件.2.线性目标函数：(关于变量nxxx,,,21达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于yx,的一次式yxz2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量yx,的解析式,叫线性目标函数.(例如关于yx,的解析式：22,2yxzyxz等等的叫做目标函数).3.线性规划问题：一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.4.可行解、可行域和最优解：a.满足约束条件的解),(yx叫可行解．b.由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线nlll,,,21的斜率为nkkk,,,21，而且目标函数的直线的斜率为k,则当1iikkk时，直线il与1il相交的顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(ikk)时,其最优解可能有无数个.c.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.5.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.②用图解法解决线性规划的一般步骤：1.画:画出约束条件表示的可行域;2.移:作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;3.求:根据直线方程求解出最优解;4.算:根据最优解算出最优值(最大值或最小值);5.特:若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.③实际问题中的线性规划：(1)建模:注意审题,根据题意列出线性规划模型;(2)求解:利用图解法求解模型(注意实际意义).【经典例题】【例1】设变量yx,满足约束条件1,3yxyx，则目标函数xyz2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【例2】设,,Ryx且满足02yx，则22yx的最小值为；若yx,又满足xyxy则,4的取值范围是.【例3】设2zxy，式中变量,xy满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值.【例4】设O为坐标原点，(1,1)A，若点B满足222210,12,12xyxyxy，则OAOB的最小值为A．2B．2C．3D．22【例5】已知不等式组1,1,0xyxyy表示的平面区域为M，若直线3ykxk与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（A）A．1[,0]3B．1(,]3C．1(0,]3D．1(,]3【易错题】【例1】已知不等式组02,20,20xxykxy所表示的平面区域的面积为4，则k的值为A．1B．3C．1或3D．0【答案】A【例2】不等式组0,10,3260xxyxyìïïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于.【例3】设变量x，y满足0,10,3260,yxyxyìïïïï--íïï--ïïî≥≥≤则该不等式组所表示的平面区域的面积等于；zxy=+的最大值为.【例4】目标函数2zxy在约束条件30200xyxyy下取得的最大值是________.【例5】已知0,(,20xxyyxkxyk满足为常数）若yxz3的最大值为8，则k=_____【课堂练习】1.在平面直角坐标系中,不等式组0,40,xyxyxa所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值为.2.若实数x，y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为（）A．9B．3C．0D．33.若实数x，y满足不等式组1,2,0,yxyxy则yxz2的最小值为（）A．27B．2C．1D．254.若变量xy，满足约束条件0,21,43,yxyxy则35zxy的取值范围是（）A.[3,)B.[-8,3]C.(,9]D.[-8,9]5.在平面上有两个区域M和N，其中M满足002yxyxy，N由1txt≤≤确定，当0t时，M和N公共部分的面积是；当01t时，M和N的公共部分面积的最大值为．【课后作业】1、不等式组0,10,3260xxyxy所表示的平面区域的面积等于.2、点(,)Pxy在不等式组22yxyxx表示的平面区域内，则zxy的最大值为_______．3、已知ab，则下列不等式正确的是A．11abB．22abC．22abD．22ab4、平面上满足约束条件2,0,60xxyxy的点(,)xy形成的区域为D，则区域D的面积为________；设区域D关于直线21yx对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为________．5、若满足条件020xyxyya的整点(,)xy恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为A．3B．2C．1D．06、若实数x，y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为A．9B．3C．0D．37、若实数x，y满足条件0,10,01,xyxyx则|3|xy的最大值为（）A．6B．5C．4D．38、若实数x，y满足不等式组1,2,0,yxyxy则yxz2的最小值为A．27B．2C．1D．259、若点(,)Pxy在不等式组,,2yxyxx表示的平面区域内，则2zxy的最大值为A．0B．2C．4D．610、设,xy满足约束条件0,,230,yyxxy则目标函数2zxy的最大值是；使z取得最大值时的点(,)xy的坐标是．