2016福州软件职业技术学院高职招考数学模拟试题(附答案解析)

考单招——上高职单招网2016福州软件职业技术学院高职招考数学模拟试题（附答案解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合（）A．{x|x2}B．{x|x≤2}C．{x|－1x≤2}D．{x|－1≤x2}2．满足的复数z是（）A．2+iB．－2+3iC．2+2iD．2－i3．已知等比数列{an}的前n项和是Sn,S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（）A．8B．12C．16D．244．已知，C为线段AB上距A较近的于个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用、表示的表达式为（）A．B．C．D．5．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x－1，那么不等式f(x)的解集是（）A{x|0x}B{x|－x0}C{x|－x0或0x}D{x|x－或0≤x}6．设函数f(x)是偶函数，且对于任意正实数x满足f(2+x)=－2f(2－x),已知f(－1)=4,那么f(－3)的值是（）考单招——上高职单招网A．2B．－2C．8D．－87．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知则实数a的取值范围是（）A．（－∞，－2）∪（1，+∞）B．（－2，1）C．D．9．设实数满足条件的最大值为（）A．23B．25C．D．510．已知函数表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①的解析式为；②的极值点有且仅有一个；③的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．若对于任意的，函数，则称在[a，b]上可以替代.若，则下列函数中可以在[4，16]替代是（）考单招——上高职单招网A．B．C．D．12．ABCD—A1B1C1D1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）.设白、黑蚂蚁都走完2006段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）A．1B．C．D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上）13．设则=14．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则点P到双曲线右准线的距离是.15．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设★……第一行第一行这个数为M1，M2、M3分别表示第二、★★……第二行三行中的最大数，则满足M1M2M3的所有★★★……第三行排列的个数是.16．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则它购买卡才合算.考单招——上高职单招网三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本大题满分12分）设是平面上的两个向量，且互相垂直（1）求λ的值；（2）若的值.（18）（本大题满分12分）函数f（x）=1-2acosx-2sin2x的最小值为g（a）（a∈R）（1）求g（a）的表达式；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值考单招——上高职单招网（19）（本大题满分12分）如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。若甲向东、向西行走的概率均为，向南、向北行走的概率分别为和p，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q（1）求p和q的值；（2）设至少经过t分钟，甲、乙两人能首次相遇，试确定t的值，并求t分钟时，甲、乙两人相遇的概率.（20）（本大题满分12分）考单招——上高职单招网如图，△ABC中，AC=BC，AE和CD都垂直平面ABC，且AE=AB=2，F为BE的中点，DF//平面ABC.（1）求CD的长；（2）求证：AF⊥BD；（3）求平面ADF与平面ABC所成的较小的二面角的大小.（21）（本大题满分12分）已知函数的反函数.考单招——上高职单招网（1）已知数列求数列的通项公式；（2）已知数列求证：对一切n≥2的正整数（22）（本大题满分14分）已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值.考单招——上高职单招网参考答案及解析一、选择题题号123456789101112答案BACADDDCACCB二、填空题13．114．15．24016．神州行三、解答题：17．解：（1）（2）当垂直时，，则考单招——上高职单招网18．解：（1）f（x）=1-2acosx-2sin2x=2cos2x-2acosx-2a-1设h（t）=2t2-2at-2a-1=2（t-）2--2a-1，t=cosx∈。①当-1时，即a-2时，g（a）=h（t）min=h（-1）=1。②当-1≤≤1时，即-2≤a≤2时，g（a）=h（t）min=h（）=--2a-1。③当1时，即a2时，g（a）=h（t）min=h（1）=1-4a。（2）当a-2时，g（a）=1≠；当a2时，g（a）=h（t）min=h（1）=1-4a=，得a=；当-2≤a≤2时，g（a）=--2a-1=，则a=-3（舍）或a=-1。∴当a=-1时，f（x）=2cos2x+2cosx+1=2（t-）2+。当cosx=1时，f（x）有最大值为5。考单招——上高职单招网19．解：（1）……（2分）（2）t=2甲、乙两人可以相遇（如图，在C、D、E三处相遇）……（4分）设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE，则：PC=……………………（6分）PD=……………………（8分）PE=……………………（10分）PC+PD+PE=即所求的概率为………………（12分）20．方法一：（1）取AB中点G，连FG、CG，则FG//AE，又AE和CD都垂直平面ABC，所以AE//CD，所以FG//CD，所以F、G、C、D四点共面.又平面FGCD∩平面ABC=CG，DF//平面ABC，所以DF//CG，所以四边形FGCD是平行四边形，所以CD=FG=AE=1.………………（4分）（2）直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，所以AF⊥BE，又△ABC中，AC=BC，G是AB中点，所以CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，所以AE⊥CG，又AE∩AB=A，所以CG⊥面ABE.因为考单招——上高职单招网DF//CG，所以DF⊥面ABE，AF⊥BE，由三垂线定理得AF⊥BD.……（8分）（3）设面ADF∩面ABC=L，因为DF//平面ABC，所以DF//L，又DF⊥面ABE，所以L⊥面ABE，所以L⊥AF，L⊥AB，所以∠EAB即为二面角的平面角.直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°，所以平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°…………（12分方法二：取AB的中点G，∵AB=BC，∴CG⊥AB又∵AE⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC以G为原点，GB、GC、GF所在的直线为x,y,z建立空间直角坐标系，则A（－1，0，0）B（1，0，0），E（－1，0，2）F（0，0，1），设C（0，t，0）∵DF//平面ABC，则D（0，t，1）∴即CD的长为1…………………………（4分）（2）=（1，0，1），=（－1，t，1）∵·=－1+1=0，∴AF⊥BD（8分）（3）∵=（1，0，1），=（0，t，0），设=(x,y,z)是平面ADF的一个法向量，∴GF⊥平面ABC，则=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，设平面ADF与平面ABC所成的二面角（锐角）为θ，则所以θ=45°即：平面ADF与平面ABC所成的较小的二面角为45°……………………（12分）考单招——上高职单招网21．（1）解：）∴数列是以1为首项，公差为1的差数列，an=………………（4分）（2）证明：则………………（6分）22．解：（1）由题可得F1(0,),F2(0,－),设P(x0,y0)(x00,y00)则在曲线上，则则点P的坐标为（1，）………………………………（2分）（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k0)考单招——上高职单招网则BP的直线方程为：y－=k(x－1)所以：AB的斜率为定值…………………………（8分）（4）设AB的直线方程：当且仅当m=±2∈（－2，2）取等号∴三角形PAB面积的最大值为………………………………（14分）