214(二)函数的奇偶性教案

1/32.1.4函数的奇偶性(二)【学习要求】1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解；2.会推断奇偶函数的性质．【学法指导】通过函数奇偶性的应用，加深对概念的理解，提高分析问题和解决问题的能力，培养知识的迁移能力及数形结合的应用意识．培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归与转化能力的训练.填一填：知识要点、记下疑难点1.定义在R上的奇函数，必有f(0)＝_0_.2.若奇函数f(x)在[a，b]上是_增_函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是_增_函数，且有最小值－M.3.若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是_增_函数.研一研：问题探究、课堂更高效探究点一利用奇偶性求函数解析式例1函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求当x0时，f(x)的解析式．解：设x0，则－x0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x0时，f(x)＝－x－1.小结：求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式．解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝1x－1①用－x代换x得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2,得g(x)＝xx2－1.探究点二函数的奇偶性与单调性的关系问题1观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？答：偶函数在y轴两侧的图象的升降方向是相反的；即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．问题2观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？答：奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的；即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同．2/3例2已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)0，试求a的取值范围．解：∵f(a－2)＋f(3－2a)0，∴f(a－2)－f(3－2a)．又f(x)为奇函数，∴f(a－2)f(2a－3)．又f(x)在[0,1)上为增函数，∴f(x)在(－1,1)上为增函数，∴a－22a－3－1a－21－12a－31，∴a11a31a2，∴1a2.小结：在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立．即若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．跟踪训练2已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－x2)0.解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴由f(1－x)＋f(1－x2)0，得f(1－x)－f(1－x2)．∴f(1－x)f(x2－1)．又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，∴－11－x1－11－x211－xx2－1，解得0x1.∴原不等式的解集为(0,1)．探究点三奇偶性与单调性的综合例3设函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)0，试判断函数F(x)＝1fx在(－∞，0)上的单调性，并给出证明．解：F(x)在(－∞，0)上是增函数，以下进行证明：设x1x20，则－x1－x20，∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)f(－x2)，即f(－x2)－f(－x1)0.①又∵f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)．由①式得－f(x2)＋f(x1)0，即f(x1)－f(x2)0.又∵f(x)在(0，＋∞)上总小于0，∴f(x1)＝－f(－x1)0，f(x2)＝－f(－x2)0，f(x1)·f(x2)0，F(x2)－F(x1)＝1fx2－1fx1＝fx1－fx2fx1·fx20.故F(x)＝1fx在(－∞，0)上是增函数．小结：判断抽象函数奇偶性时，赋值后出现f(－x)和f(x)是关键，故赋值要恰当，要认真体会赋值法在解题中的作用．跟踪训练3已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R＋，f(x)0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．3/3(1)证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解：设x1x2，且x1，x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x10，∴f(x2－x1)0.∴f(x2)－f(x1)0，即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是()A．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立解析：由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.2.已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.解析∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.3.已知函数f(x)＝－x－1x≤－1－x2＋1－1x1x－1x≥1，(1)求f[f(32)]的值；(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象；(无需列表)(3)结合图象判断函数的奇偶性，并写出函数的值域和单调增区间．解：(1)f[f(32)]＝f(12)＝34.(2)函数图象为(3)根据图象可知函数是偶函数，值域为[0，＋∞)，单调增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．课堂小结：1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．