48高阶导数与高阶微分

2020/1/121第八节高阶导数与高阶微分一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例三、高阶微分2020/1/122一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx记作.d)(ddd,),(2222xxfxyyxf或2020/1/123记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf2020/1/124二、高阶导数求法举例例1).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.21.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2020/1/125例2.,)(nxyey求设解,xey,xey,xey同理可得xnxneey)()()()10()(ln)()()(aaaaaynxnxn且2020/1/126例3.,sin)(nyxy求设解xycos)2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn同理可得)2cos()(cos)(nxxn2020/1/127例4.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,)1(n)()()(nnnxy,!n)()()(mnmxy.0)1()1()1()(nxnynn特别地)(nm,1)2(时当1)(1)(!)1()(1nnnnxnxx2020/1/128例5.),1ln()(nyxy求设解注意xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明))1!0,1()!1()1()(ln1)(nxnxnnn2020/1/129例6.),,(sin)(naxybabxey求为常数设解bxbebxaeyaxaxcossin)cossin(bxbbxaeax)arctan()sin(22abbxbaeax)]cos()sin([22bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab2020/1/12102.高阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu莱布尼兹公式2020/1/1211例7.,)20(22yexyx求设解则由莱布尼兹公式知设,,22xveux0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220xxxexexe)9520(22220xxex2020/1/12123.间接法常用高阶导数公式nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1(1nnnxnx利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.2020/1/1213例8.,11)5(2yxy求设解)1111(21112xxxy])1(!5)1(!5[2166)5(xxy])1(1)1(1[6066xx2020/1/1214例1.,0),(yxyexyyy求的隐函数所确定由方程设解求导得方程两边对x)1(0'yxyyey于是得;xeyyy隐函数的高阶导数用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次求导,(y是x的函数),最后解出y的高阶导数.2020/1/12150'2)'('')(2yyeyxeyy得得代入化解将'y.)1()22(''322yxyyyy.)'('22xeyeyyyy0'')'(2yxyyyeyeyy求导得两边再对将方程x)1(2020/1/1216例2.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解求导得方程两边对x)1(04433yyyxyx得代入1,0yx;4110yxy求导得两边再对将方程x)1(04)(122123222yyyyyxyx得4110yxy,1,0yx代入.16110yxy2020/1/1217,)()(二阶可导若函数tytxxyxxydddddd22xttttdd)()(dd)(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(dd322tttttxy即参数方程的高阶导数2020/1/1218例1解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxtxtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttattattanxyxxydddddd22)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec4dtdxdddtdxy2020/1/1219,)()(二阶可导若函数tytx22ddxy求xydd.)()(dddddddd22ttgxttyxyxy即)()()(ttytx)(tg,)()(三阶可导若函数tytx33ddxy求)()()(ttgytx)(th.)()(dddddddd33tthxttyxyxy即xyddxyxdddd2020/1/1220例3设连续，，)(xg)()()(2xgaxxf求.)(af,)(可导xg)()()()(2)(2xgaxxgaxxf)(xg不一定存在故用定义求)(af)(afaxafxfax)()(lim0)(afaxxfax)(lim)]()()(2[limxgaxxgax)(2ag解2020/1/1221.,)(,)ln(13yufxxfy求可导例.)(,||3)(223xfxxxxf求例2020/1/1222.01232yyxxy满足验证例3.,)(cos)(sin22yxfxfy求设例42020/1/1223例5.),0()(nybcaddcxbaxy求设.0,,0)(nydayc时cdxcadbccayc1,02时2020/1/1224一阶微分的定义.d,dd,)(,)(,)0()(,)()()()(,,)(000000000xAyfyxxxfyxAxxfyxxxoxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数时当高阶的无穷小量是比无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数三高阶微分2020/1/1225若可微时，称它的微分dxxfdy)()(dyd为y的二阶微分，记为.当可微时，yd2yd2一般地，当y的n-1阶微分可微时，ydn1为y的三阶微分，记为)(2ydd.3yd称它的微分二阶微分：n阶微分：称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作ydn高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1．高阶微分的定义2020/1/1226dxxfdy)()()()]([])([2dxdxfdxxfddxxfdydnnndxxfyd)()(2.高阶微分的求法22)())(()(dxxfdxxfdxdxxf用同样的方法，得这里dx的是x处的产生的增量,与变量x无关,视作常数即y的n阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分的n次方.2020/1/1227,)(',)(dxxgduduufdy)()()]([])([2dudufduufdduufdydnnndxxfyd)()(但对于复合函数我们就不能得出这一公式0)()(dxddud这时才回能到前面导出的公式这里当u的是自变量x时,)()()(''22dudufduufyd这事实也说明高阶导数不具有形式不变性所以2020/1/1228nnnduufyd)()(对于复合函数我们就不能得出注意这里记号2222)('')()(''duufudufduufyd如n=2时,应有表示不同含义,不能混淆.,,22uddu2020/1/1229例1求的二阶微分.xeysin解:)sin(cos''2sinxxeyx22sin22)sin(cosdxxxedxyydx所以若把看成是由复合而成的函数，xeysinxueyusin则,)()(uueeuf2222cos)](sin[xdxxddu22sin222)sin(cos)(')(dxxxeudufduuyydx所以22sin)(xdxdudud且2020/1/1230例2设分别依公式（1）、（2）求.)(,sin)(2ttxxxfy.2yd解由得依公式（1）得类似地，依公式（2）得,sin4cos2,cos22222tttytty.)sin4cos2(22222dttttyd22222cossin)()(xdxxdxxdxfdxxfyd222222cos)2(sindttdttt.)sin4cos2(2222dtttt2sinty2020/1/1231三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法：1.直接法;2.间接法.