3-3第三节三角函数的图象与性质练习题(2015年高考总复习)

1第三节三角函数的图象与性质时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为－1，12，则b－a的值不可能是()A.π3B.2π3C．πD.4π3解析画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为2π3，4π3.故选A.答案A2．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析∵y＝sinx－π2＝－cosx，∴T＝2π，在0，π2上是增函数，2图象关于y轴对称，为偶函数．答案D3．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是()A．(－π4，π4)B．(0，π2)C．(π4，3π4)D．(π2，π)解析y＝2cos2x＝1＋cos2x，∴递增区间为2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π.∴kπ＋π2≤x≤kπ＋π.∴k＝0时，π2≤x≤π.选D.答案D4．已知函数f(x)＝sin2ωx－π3(ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是()A．x＝π12B．x＝π6C．x＝5π12D．x＝π3解析由T＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f(x)＝sin2x－π3，则f(x)的对称轴为2x－π3＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝5π12＋kπ2(k∈Z)，所以x＝5π12为f(x)的一条对称轴．答案C5．函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．03C．－1D．－1－3解析当0≤x≤9时，－π3≤πx6－π3≤7π6，－32≤sinπx6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－3.答案A6．(2013·全国大纲卷)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是()A．y＝f(x)的图象关于点(π，0)中心对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称C．f(x)的最大值为32D．f(x)既是奇函数，又是周期函数解析由f(x)＝cosxsin2x知D项显然正确．∵f(x)＝2sinxcos2x＝2sinx－2sin3x，令sinx＝t，t∈[－1,1]，∴f(t)＝2t－2t3.则f′(t)＝2－6t2＝2(1－3t2)，令f′(t)＝0，∴t＝±33.∵f(1)＝0，f(－1)＝0，则f33＝233－39＝439.∴f(x)max＝439，故C项不正确．将函数换元转化为三次函数求最值是解题关键．答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)47．(2013·江苏卷)函数y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期为________．解析T＝2π2＝π.答案π8．函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为________．解析由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)答案kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)9．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析∵y＝cosx的对称中心为kπ＋π2，0(k∈Z)，∴由2×4π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，得φ＝kπ－13π6(k∈Z)．∴当k＝2时，|φ|min＝π6.答案π65三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．设f(x)＝1－2sinx.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．解(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域为x2kπ＋56π≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z.(2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3.∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3.∴f(x)的值域为[0，3]，当x＝2kπ＋3π2，k∈Z时，f(x)取得最大值．11．(2013·陕西卷)已知向量a＝(cosx，－12)，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值．解f(x)＝(cosx，－12)·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cosπ6sin2x－sinπ6cos2x＝sin(2x－π6)．(Ⅰ)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(Ⅱ)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x6－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1，当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12.因此，f(x)在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.12．(2013·安徽卷)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)(ω0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．解(Ⅰ)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．