3.3.2简单的线性规划问题(检测试题)

3.3.2简单的线性规划问题（检测试题）双基达标限时20分钟1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是()A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线的横截距D．该直线的纵截距的相反数解析：把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距．故选B.答案：B2．设x，y满足2x＋y≥4x－y≥－1，x－2y≤2则z＝x＋y()．A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值解析作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，作直线l：y＝－x.当平移直线l至经过A(2,0)时，z取得最小值，zmin＝2，由图可知无最大值．故选B.答案B3．已知点P(x，y)的坐标满足条件x＋y≤4，y≥x，x≥1，则x2＋y2的最大值为()．A.10B．8C．16D．10解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|＝2，B(2,2)，|OB|＝22，C(1,3)，|OC|＝10.∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝(10)2＝10.答案D4．已知2x＋3y≤6x－y≥0y≥0，则z＝3x－y的最大值为________．解析画出可行域如图所示，当直线z＝3x－y过点(3,0)时，zmax＝9.答案95．已知实数x，y满足x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．解析画出不等式组x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.答案2综合提高限时25分钟6．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()．A.14B.35C．4D.53解析由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－35，∴a＝35.答案B7．已知x，y满足x－y＋5≥0，x≤3，x＋y＋k≥0.且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝()．A．2B．9C．310D．0解析由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.故选D.答案D8．若实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0.则z＝3x＋2y的最小值是________．解析由不等式组得可行域是以A(0,0)，B(0,1)，C(－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x＝0，y＝0时，z′＝x＋2y取最小值0.所以z＝3x＋2y的最小值是1.答案19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N*，y∈N*.目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．答案230010．某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360t，并且供电局只能供电200kW，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？产品品种劳动力(个)煤(t)电(kW)A产品394B产品1045解设生产A，B两种产品各为x，y吨，利润为z万元，则3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥0，y≥0.z＝7x＋12y.作出可行域(如图)，作出在一组平行直线7x＋12y＝t(t为参数)，此直线经过M(20,24)，故z的最优解为(20,24)，z的最大值为7×20＋12×24＝428(万元)．12.（拓展）某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)[来源:学*科*网]0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则0.1x≤902x≤600z＝80x⇒x≤900x≤300⇒x≤300.所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则0.2y≤901·y≤600z＝120y⇒y≤450y≤600⇒y≤450.所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元．(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则0.1x＋0.2y≤902x＋y≤600x≥0y≥0⇒x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0.z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l：80x+120y=0，即直线l：2x+3y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z=80x+120y取得最大值．由2900,2600,xyxy解得点M的坐标为(100,400)．所以当x=100，y=400时，zmax=80×100+120×400=56000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．