3.3二倍角的正弦余弦和正切(第二课时)

3.3二倍角的正弦，余弦和正切（第二课时）【教材版本】北师大版【教材分析】二倍角的三角函数是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，他既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又是以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具。二倍角的内涵是：揭示具有倍角关系的两个三角函数的运算规律。通过推导让学生加深理解高中数学由一般到特殊的化归思想，因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题的能力和解决问题的能力都有着十分重要的意义。【学法指导】能从两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的公式，运用这些公式进行简单的半角三角函数的计算，在初步了解两角的正弦、余弦、正切公式及其一般性之后，只要令，就可以得到二倍角公式。应该把这个培养运算能力和逻辑思维能力的机会留给学生，由学生独立完成公式的推证，从而获取知识。二倍角的余弦公式也只需教师做适当引导而由学生独立导出。由于二倍角和半角是相互独立的，2是的两倍，反之是2的一半，是2的两倍，反之2是的一半。因此可以说，半角公式与二倍角公式是同一种公式的两种不同表现形式。根据《标准》的规定，不要求用半角公式做复杂的恒等变形，因此在教科书中，作为三角恒等变形的基本训练。以例题的形式给出了推导半角公式的简单过程，希望在教师的指导下，导出公式。本节习题中第一次设置了三角恒等证明的题目。希望通过他们在半角公式的推导这一基本训练上，使学生进一步了解三角恒等变形的基本方法，体验变形的过程，了解公式的应用。【教学目标】1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.【重点难点】重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；难点：二倍角的理解及其灵活运用.【教学过程】教学目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点：二倍角公式的应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式教学过程：一、复习引入：二倍角公式:cossin22sin；)(2S22sincos2cos；)(2C2tan1tan22tan；)(2T1cos22cos22sin212cos)(2C（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的奎屯王新敞新疆（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4）公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T成立的条件是:公式)(2T成立的条件是ZkkkR,4,2,．其他R奎屯王新敞新疆（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos1sin,22cos1cos22这两个形式今后常用奎屯王新敞新疆二、讲解范例：例1化简下列各式：1．4cos4sin42sin22．40tan140tan280tan213．2sin2157奎屯王新敞新疆51=22315cos4．125sin12sin416sin2112cos12sin5．80cos40cos20cos=20sin80cos40cos20cos20sin20sin80cos40cos40sin218120sin160sin8120sin80cos80sin41例2求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1sin)+cos(1cos)]=sin2证：左边=(sin+sin2+cos+cos2)×(sinsin2+coscos2)=(sin+cos+1)×(sin+cos1)=(sin+cos)21=2sincos=sin2=右边∴原式得证关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的奎屯王新敞新疆在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用奎屯王新敞新疆例3求函数xxxysincoscos2的值域奎屯王新敞新疆解：21)42sin(222sin2122cos1xxxy——降次∵1)42sin(1x∴]221,221[y例4求证：)6(sin)3cos(cossin22的值是与无关的定值。证明：)3cos(cos)]23cos(1[21)2cos1(21原式—降次)sin3sincos3(coscos]2cos)23[cos(21)sincos23cos21)2cos2sin3sin2cos3(cos21241)2sin43)2cos1(412cos212sin232cos41∴)6(sin)3cos(cossin22的值与无关例5求证：2tan14cos4sin1tan24cos4sin1——升幂证：原式等价于：2tan1tan24cos4sin14cos4sin1左边2cos22cos2sin22sin22cos2sin2)4cos1(4sin)4cos1(4sin222tan)2cos2(sin2cos2)2sin2(cos2sin2右边=2tantan1tan22∴左边=右边∴原式得证例6利用三角公式化简：)10tan31(50sin分析：化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路．解：)10cos10sin31(50sin)10tan31(50sin10cos)10sin2310cos21(250sin10cos10sin30cos10cos30sin50sin210cos40sin40cos2110cos80sin指出：例４的解法用到了很多公式，其解法的关键是“化切为弦”与逆用公式．三、课堂练习：1奎屯王新敞新疆求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°解：原式＝2100cos12160cos1＋sin10°cos40°＝1＋21×2×（－sin30°sin50°）＋sin10°cos40°＝1－21sin50°＋21（sin50°－sin30°）＝1－41＝432奎屯王新敞新疆求10cos310sin1的值奎屯王新敞新疆解：原式＝10cos10sin2)10sin2310cos21(410cos10sin10sin310cos420sin20sin420sin)1030sin(410cos10sin2)10sin30cos10cos30(sin4四、小结本节课学习二倍角公式的应用，掌握公式是前提，活用公式是关键。五、课后作业：1奎屯王新敞新疆若25≤α≤27，则sin1sin1等于()2D.2sin2sin2C.2B.2cos2cos2.A2奎屯王新敞新疆4cos2sin22的值等于()Ａ奎屯王新敞新疆sin2Ｂ奎屯王新敞新疆－cos2Ｃ奎屯王新敞新疆3cos2Ｄ奎屯王新敞新疆－3cos23奎屯王新敞新疆sin6°cos24°sin78°cos48°的值为()81D.321C.161B.161A.4奎屯王新敞新疆94cos93cos92cos9cos的值等于奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆已知sinｘ＝215，则sin2（ｘ－4）的值等于奎屯王新敞新疆6奎屯王新敞新疆若sinαsinβ＋cosαcosβ＝0，则sinαcosα＋sinβcosβ的值为奎屯王新敞新疆7奎屯王新敞新疆已知.)4cos(2cos),40(135)4sin(求8奎屯王新敞新疆求值tan70°cos10°（3tan20°－1）奎屯王新敞新疆参考答案：1奎屯王新敞新疆C2奎屯王新敞新疆3奎屯王新敞新疆A4奎屯王新敞新疆1615奎屯王新敞新疆2－56奎屯王新敞新疆07奎屯王新敞新疆13248奎屯王新敞新疆－1