5_4实对称矩阵的相似矩阵

第四节实对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵的相似理论三、实对称矩阵对角化的方法第四节教学要求1、掌握实对称矩阵特征值的性质2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法对称矩阵如果方阵A满足,AAT就称A为对称矩阵111100330574702423例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0,xxAx即,的表示用共轭复数一、实对称矩阵特征值的性质,Axx则说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．,的表示xx共轭复向量,AxxAxx即于是有TxAxAxxT及TxAxTxx,TxxxAxTTxxATxxT.xxT两式相减，得0.Txx,0x但因为,0,即.是实数由此可得2110nnTiiiiixxxxx所以定理1的意义,iA由于对称矩阵的特征值为实数所以齐次线性方程组,0,.iAE是实系数方程组由知必有实的基础解系从而对应的特征向量可以取实向量()0iAEx.,,,,,221212121正交与则若是对应的特征向量的两个特征值是实对称矩阵设定理ppppA证明,,,21222111AppApp,,AAAT对称TTTAppp11111,11ApApTTT于是22121211ppAppppTTT,212ppT.02121ppT,21.21正交与即pp.021ppT.,)(,,3个线性无关的特征向量恰有对应特征值从而的秩则矩阵重根的特征方程的是阶对称矩阵为设定理rrnEAREArAnA二、实对称矩阵的相似理论定理4任意实对称矩阵都与对角矩阵相似。A它们的重数依次为其中证明：设的互不相等的特征值为,,,12sA12srrrn,,,12srrr由定理3，对应于特征值(,,,),12iisir12srrrnAnA又由定理2及知，有个线性无关的特征向量，恰有个线性无关的特征向量，从而与对角矩阵相似。定理5设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵。AnP1PAPAn根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量求出由AxEAi1.;的特征值求A三.实对称矩阵对角化的方法1nPPPAP5.将求出的个正交规范的特征向量构成矩阵，则为正交矩阵使得。其中对角矩阵的主对角元的排列顺序与中列向量的排列顺序相对应.P解20212022EA2140.2,1,4321得,020212022)1(A310130004)2(A例1对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P(1)第一步求的特征值A的特征向量求出由第二步AxEAi,0得由对,04,41xEA04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221得由对,0,12xEA0202202323121xxxxxx解之得基础解系.2122得由对,02,23xEA02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.2213第三步将特征向量正交化.,,,3,,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A第四步将特征向量单位化.3,2,1,iiii令,3132321得,3231322.3232313,22121212231,,321P作.2000100041APP则310130004)2(A310130004EA,422.4,2321得特征值得基础解系由对,02,21xEA1101得基础解系由对,04,432xEA.110,00132,32恰好正交与.,,321两两正交所以得令单位化再将3,2,1,,,321iiii,212101,0012.212103于是得正交阵2102121021010,,321P.4000400021APP则利用对角化可求方阵的幂例2设为3阶实对称矩阵,的特征值为求A12311,.2008A.解:由于是实对称矩阵,故必可对角化,且AA1111,PPAP即存在正交矩阵使得200820081APP～AA1PEPE20081PP111例3设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量为,求AA(,,)1011Tp即1123xxx10Tp230xx,23100101pp1A,23pp1解之得基础解系故就是对应于的特征向量.解:设与特征值对应的特征向量为由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量一定正交,故又的对应于二重特征值的线性无关的特征向量一定有两个,记(,,)123010101101Pppp于是1APP1000010101010101010111011011101例4设是两个阶实对称矩阵,证明相似的充要条件是有相同的特征值.AB与AB与n,AB12,,.n12nA12nB证明若A与B有相同的特征值.记特征值为由相似矩阵的传递性知A与B相似.因为实对称矩阵A与B必可对角化,所以若A与B相似,由相似矩阵的性质,A与B一定有相同的特征值.1.对称矩阵的性质：小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)单位化．.2det,,2的值试求行列式的秩为且满足阶实对称矩阵设AErAAAAn思考题1思考题1解答使得故存在可逆阵且秩为阵是实对称又或的特征值为可得由,,,,012PrAAAA解10,00rEPAP)2det()2det(11PPPPAE从而)2det(EEErnr200det.2rn.rEr其中是阶单位阵,111111111A.00100100nB思考题2.,是否相似判断下列两矩阵BA思考题2解答.0,,)()()det(211nnnAnEA的特征值为因解使得矩阵存在可逆是实对称矩阵又,,1PA),0,,0,(111ndiagPAP,)()()det(1nnEB还可求得.有相同的特征值与即AB,1,02特征向量个线性无关的有对应特征值nn使得故存在可逆矩阵,2P,212PBP,212111PBPPAP从而,121112BPPAPP即.相似与故BA