6-2可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程2014-02-25周二一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：()()QydyPxdx,,yfxy可写成如下形式：()()0PxdxQydy即,.dyfxydx即（y是x的函数）称为可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法：设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的通解.两端积分()()gydyfxdx（隐式通解）分离变量典型例题221.xCxyeCe例1求解微分方程2.dyxydx的通解解:分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy21ln,yxC1CCe其中2xyCe为所求通解.两端积分,2xdxydy2lnln,yxC2ln,yxc2,xyec通过例1可以看出，lny转化为正负号了.最后1CCe2xyCe为所求通解.（其结果一样）y不加绝对值，后面加lnC这样就告诉我们一个便捷的好方法.两边取指数例2求解微分方程211dyxydxx满足初始条件y0的特解.解：分离变量,12xxdxydy两端积分,12xxdxydy21lnln(1)ln,2yxC21.yCx为通解1将初始条件y0代人通解，1.C得21.yx故所求特解为2lnln1,yCx例3衰变问题:铀的衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解：,dtdM衰变速度由题设条件可知(0)dMMdt衰变系数,dMdtM分离变量两端积分,dtMdM00MMt代入,lnlnctM,tMCe即00MCe得,CteMM0衰变规律ln,MtC例4.求下列微分方程的通解：21yxyayy两端积分分离变量得2.ay即y1-x-a2,1dyadxyxa1ln1.axaCy1ln1,axaCy即微分方程通解为：2,1dyadxyxa解：原方程为20xyxxyyeedxeedy解：原方程为11,xyyxeedxeedy.11xyxyedxedyee分离变量两端积分微分方程通解为ln1ln1ln,xyeeC得11.xyeeC.11xyxyedxedyee23110dyyxdx解:分离变量得两端积分方程通解为231,ydyxdx2321,yydyxdx即32411134yyyxC，32414333,yyyxC34341xyC2321,yydyxdx例5.求下列微分方程的通解：这几题讲过以后，看看自己会不会做。2240ydxxxdy解：分离变量得2,4dxdyxxy11144dydxxxy即两端积分41,4xCyx1lnln44lnlnxxyC即方程通解为44.yxCx或11144dydxxxy分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-----隐式通解.思考题求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy思考题解答,02cos2cosyxyxdxdy,02sin2sin2yxdxdy,2sin2sin2dxxydy2cot2csclnyy,2cos2Cx为所求通解.csclncsccotxdxxxC公式公式和差化积二、齐次方程)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换令,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即1.定义可分离变量的方程U与x的关系y与x的关系()0fuu时,()dudxfuux得yux将代入.,0u当,0)(00uuf使0.yuxC00()fuu代回原方程，00.dyfuudx即分离变量得通解后，齐次方程的通解例6.求解微分方程解：原方程可写成dxdyxydxdyxy22令,uxy,dyduuxdxdx则12uudxduxu22dyydxxyx.yux21yxyx移项合并得1uudxdux分离变量得xdxduu11两端积分得lnxuuC通解为Cxyyln例7求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudusinln,uxC.lnsinCxxy微分方程的解为解1.dydxxy例8求的通解解,uyx令1dxdudxdy,yux代入原方程得11,dudxu111.duudxuu分离变量得,1ududxu积分得1ln1uuxCuxy将代入，得1ln1,yxyC或11.cyxCeyCe利用变量代换求微分方程的解2().dyxydx例9求的通解解,uyx令1dxdudxdy代入原方程得21,duudx,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy21dudxu,yux小结1、齐次方程).(xyfdxdy2、齐次方程的解法.xyu令思考题方程2202()()()xyttytdtxyx是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:x,222yxyyxy,22yyxyx,12xyxyy原方程是齐次方程.2202()()()xyttytdtxyx例10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：21sinln,;xyxyyyesinlndxdyxyy解：lnlnlntanln2xyC通解为lntan.2xyC即21.xyeC将代人得lntan,2xy特解为即tan2.xye1lncsccotsindxxxCx11lntan42xC2cos1sin0,xydxeydy0.4xy解：分离变量sin1cosxdxydyey1xdxeln1lncosln,xeyC通解为1cos.xeCy即0,4xy将代人得C=22122cos.xey特解为：1xxedxeln1xe这几题讲过以后，自己再做一遍。布置作业P335习题6-21(1)(3)；4（2）(3)；2(2).7.(提示Ln2=0.693)；做习题时，要注意化简答案。参见书后的答案，研究怎么化简，不要使答案繁复.