73_麦克斯韦速度分布律73-4__热力学统计物理汪志诚

热力学·统计物理回顾§7.1热力学量的统计表达式§7.2理想气体的物态方程新课§7.3麦克斯韦速度分布律§7.4能量均分定理leZll11ZeeeNlll1lnZNeeUllll1lnZVNp)ln(ln11ZZNkS!ln)ln(ln11NkZZNkS1lnZNkTF!lnln1NkTZNkTFlnkS满足经典极限条件的玻色和费米系统回顾：§7.1热力学量的统计表达式kT1回顾：§7.2理想气体的物态方程⒈前提:①单原子的理想气体(结果对双原子理想气体同样适用)；②单原子分子看作没有内部结构的质点；③忽略分子间相互作用(近独立粒子)；④无外场；2.推导rrrpqhdpdpdpdqdqdqeZ02121),(122221zyxpppmVNp1lnZVNp23212hmVZ3.讨论①对于多原子分子理想气体，有相同的结果。②一般气体满足经典极限条件1e③经典极限条件的另一种表述13n新课：§7.3麦克斯韦速度分布律§7.3麦克斯韦速度分布律目的：本节根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。一.麦克斯韦速度分布律推导二、三种速率三、碰壁数（麦克斯韦速度分布律的应用例子）新课：§7.3麦克斯韦速度分布律新课：§7.3麦克斯韦速度分布律物理模型气体含有N个分子，体积为V;宏观容器内，分子的平均能量可以看作准连续的变量;一般地，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布;方案：经典统计理论求解：1、体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数lllllaee①玻耳兹曼分布：pdN一、麦克斯韦速度分布律推导：新课：§7.3麦克斯韦速度分布律②无外场时，分子平均能量的经典表达式为22221zyxpppm③体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的状态数zyxdpdpdphV3leall④体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数2221()23xyzpppmkTpxyzVdNedpdpdph⑤参数α由总分子数N的条件定出NdpdpdpehVzyxpppmkTzyx)(213222⑥将积分求出，得：3222NheVmkTzyxpppmkTpdpdpdpemkTNdNzyx)(212322221⑦体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数pdNpdN新课：§7.3麦克斯韦速度分布律2、体积V内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数zzyyxxmvpmvpmvpzyxpppmkTpdpdpdpemkTNdNzyx)(212322221体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数zyxvvvkTmvdvdvdvekTmNdNzyx)(2232222zzyyxxmdvdpmdvdpmdvdp3、单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数分子数密度VNnzyxvvvkTmvdvdvdvekTmndNzyx)(2232222pdNvdNvdN新课：§7.3麦克斯韦速度分布律单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数zyxvvvkTmvdvdvdvekTmndNzyx)(2232222将记为：zyxvvvkTmzyxzyxdvdvdvekTmndvdvdvvvvfzyx)(2232222),,(ndvdvdvvvvfzyxzyx),,(－－－－麦克斯韦速度分布律速度分布函数满足：4、麦克斯韦速度分布律vdNvdN新课：§7.3麦克斯韦速度分布律zyxvvvkTmzyxzyxdvdvdvekTmndvdvdvvvvfzyx)(2232222),,(5、麦克斯韦速率分布律zyxdvdvdvddvdvsin223222sin2mvkTmnevdvddkT单位体积内，分子速率在v～v＋dv范围内、速度方向在θ～θ+dθ、φ～φ+dφ的分子数为：麦克斯韦速度分布律23222200sin2mvkTmnevdvddkT对θ和φ积分，得到单位体积内，分子速率在v～v＋dv范围内的分子数为：vdN新课：§7.3麦克斯韦速度分布律23222200sin2mvkTmnevdvddkT单位体积内，分子速率在v～v＋dv范围内的分子数为：dvvekTmnvkTm2223224－－－－麦克斯韦速率分布律ndvvekTmnvkTm02223224速率分布函数满足：dvvekTmndvvfvkTm2223224)(vdNndvvf0)(即：一.麦克斯韦速度分布律推导二、三种速率三、碰壁数（麦克斯韦速度分布律的应用例子）新课：§7.3麦克斯韦速度分布律新课：§7.3麦克斯韦速度分布律二、三种速率1、最概然速率vm：2223224)(vekTmnvfvkTmf(v)极大值须满足：0)(mvvvfdvd2220mvkTdevdv222222202mvmvkTkTmvevevkT0122vkTmmRTmkTvm22物理应用：计算粒子的速率分布新课：§7.3麦克斯韦速度分布律2、平均速率v由概率理论，平均速率定义为：032230224)(dvvekTmdvvvfvvkTmg02)(dxxenInxP365积分公式：221)3(I223)2(2124kTmkTmvmRTmkT88物理应用：讨论分子的碰撞频率归一化的速率分布函数令)(1)(vfnvfg5.统计平均值dxxxX)(新课：§7.3麦克斯韦速度分布律3、方均根速率2v根据定义：04223022224)(dvvekTmdvvfvvvkTmg02)(dxxenInxP365积分公式：2583)4(I25232)2(8324kTmkTmv33skTRTvmm物理应用：计算分子的平均动能2vvs先求：mkT34、三种速率比较smvvv一.麦克斯韦速度分布律推导二、三种速率三、碰壁数（麦克斯韦速度分布律的应用例子）新课：§7.3麦克斯韦速度分布律dΓ：单位时间内碰到单位面积上，速度在区间内的分子数dAdtdvdvfdvvdtdAdzyxx三、碰壁数（麦克斯韦速度分布律的应用例子）碰壁数：单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数vdvv~dΓdAdt：dt时间内碰到dA面积上速度在区间内的分子数vdvv~在器壁上取小面元dA，其法向为x轴。＝以dA为底，vxdt为高的柱体内的分子数dAdtvvdnVvdnx)()(柱新课：§7.3麦克斯韦速度分布律(7.3.16)zyxxdvdvfdvvdΓ即：新课：§7.3麦克斯韦速度分布律zyxxdvdvfdvvΓ0P365积分公式：21)1(ImkTkTmIdveyvkTmy22)0(22212222220223222yvkTmxvkTmxdvedvevkTmnyx(7.3.16)zyxxdvdvfdvvdΓ即：02)(dxxenInx212)0(ImkTkTmdvevxvkTmxx221022-∞~0,远离器壁方向(7.3.18)41vnΓ新课：§7.3麦克斯韦速度分布律mkTmkTkTmn2223mkTn2mkTdveyvkTmy2222220223222yvkTmxvkTmxdvedvevkTmnyxmkTdvevxvkTmxx022即：mkTv8又：物理模型气体含有N个分子，体积为V;宏观容器内，分子的平均能量可以看作准连续的变量;一般地，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布;方案：经典统计理论求解：体积V内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数leal先求此范围内的微观状态数，再乘以玻耳兹曼分布一、麦克斯韦速度分布律最终得到单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数zyxvvvkTmvdvdvdvekTmndNzyx)(2232222vdNpdN先求，再变量代换为vdN新课：§7.3麦克斯韦速度分布律小结1、推导：2.麦克斯韦速度分布律内容新课：§7.3麦克斯韦速度分布律小结将记为：zyxvvvkTmzyxzyxdvdvdvekTmndvdvdvvvvfzyx)(2232222),,(ndvdvdvvvvfzyxzyx),,(-------麦克斯韦速度分布律速度分布函数满足：vdN-------麦克斯韦速率分布律ndvvekTmnvkTm02223224速率分布函数满足：dvvekTmndvvfvkTm2223224)(ndvvf0)(即：换球坐标，并对角度积分：二、三种速率mRTmkTvm22mRTmkTv88mRTmkTvs33smvvv三、碰壁数（麦克斯韦速度分布律的应用例子）碰壁数：单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数(7.3.18)41vnΓ新课：§7.3麦克斯韦速度分布律小结新课：§7.3麦克斯韦速度分布律例：作业7.13求证单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于v～v＋dv范围内的分子数为dvvekTmnvdvkTm322322)(证明：zxvvzxdtvzz单位时间内碰到单位面积上，速度在区间内的分子数为：vdvv~(7.3.16)zyxxdvdvfdvvdΓ换球坐标：ddvdfvvdΓsincos2新课：§7.3麦克斯韦速度分布律对dθ和dφ积分：ddvdvfvdΓsincos22020cossindd得单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于v～v＋dv范围内的分子数为dvvvfvd3)()(dvvekTmnvdvkTm322322)(22232vkTmekTmnf即：其中：新课：§7.3麦克斯韦速度分布律例：作业7.12根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值12vvvrrrvv解：从固定在分子1的坐标系上观察，分子2以约化质量、相对速度运动。rv2121mmmm根据麦克斯韦速度分布和速率分布可直接写出相对速度和相对速率的概率分布：rvkTvvdekTndWrr22232rrvkTvdvvekTndWrr222322423222042rvkTrrrrvevvdvkTkT8v2新课：§7.3麦克斯韦速度分布律课下练习:7.14小孔泄流作业7.11提示表面活性物质的分子在液面作二维自由运动，可以看作二维气体。写出二维气体分子的速度分布和速率分布函数