高三数学选修2-1知识点及习题

1选修2--1第一章常用逻辑用语【知识归类】1．命题：能够判断真假的陈述句.2.四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p则q;逆否命题:若q则p.一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:原命题为真,它的逆否命题真命题.逆命题为真,它的否命题真命题.原命题与逆否命题互为逆否命题,它们同真同假.逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.3.充分条件与必要条件:pq:p是q充分条件;q是p必要条件;:pqpq是的充分必要条件，简称充要条件.4.逻辑联接词:“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示，意义为：或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定.按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.p:矩形有外接圆;:q矩形有内切圆.:pq或矩形有外接圆或内切圆（真）:pq且矩形有外接圆且有内切圆（假）非p:矩形没有外接圆（假）5.全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.6.存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.7.对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语:正面词语等于=大于()小于()是都是任意的否定词语不等于不大于不小于不是不都是某个正面词语所有的任意两个至多有一个至少有一个至多有n个否定词语某些某两个至少有两个一个也没有至少有n+1个8.反证法的逻辑基础:(1)p与p的真假相异,因此,欲证p为真,可证p为假,即将p作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么p必为假,从而p为真.2(2)“,pq若则”与“qp若则”等价.欲证“,pq若则”为真,可由假设“q”来证明“p”,即将“q”作为条件进行推理,导致与已知条件p矛盾.（3）由“,pq若则”的真假表可知，“,pq若则”为假，当且仅当p真q假，所以我们假设“p真q假”，即从条件p和q出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“,pq若则”是真命题.后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”.【题型归类】题型一：四种命题之间的关系例1命题“20(bab2若a、R），则a=b=0”的逆否命题是（D）.(A)若ab0(a,bR),则20b2a(B)若a=b0(a,bR),则20b2a(C)0若a且b0(a,bR),则20b2a(D)0若a或b0(a,bR),则20b2a【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.解:a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:0若a或b0(a,bR),则20b2a,故应选D【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题.题型二：充分、必要条件题型例2“,,成等差数列”是“等式sin(+)=sin2成立”的（A）.（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分有不必要的条件【审题要津】,,成等差数列,说明2,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.解:由,,成等差数列,所以2,所以sin(+)=sin2成立,充分;反之,由sin(+)=sin2成立,不见得有,,成等差数列,故应选A.【方法总结】pq:p是q充分条件;q是p必要条件,否则:p是q的不充分条件;q是p不必要条件.3变式练习：“1a”是“,21axxx对任意的正数”的（A）.（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分有不必要的条件例3221:212;:210(0)3xpqxxmm已知，若p是q的必要但不充分条件，求实数m的取值范围.【审题要津】命题p,q可以化的更简,由p和q的关系可以得到p与q的关系,利用集合的理论方法将问题解决.解:由22210xxm得：11,(0)mxmm，:11,0qAxxmxmm或.112210,:2103xxpBxxx由-2得或.由p是q的必要但不充分条件知：p是q的充分但不必要条件，即BA于是：012110mmm解得0m3为所求.【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来.题型三：复合命题真假的判断例4已知2:10pxmx方程有两个不等的负实数根；q：方程24x4210mx无实根,pqpq若或为真，且为假，求m的取值范围.【审题要津】把两个方程化简，然后根据pqpq或及且列不等式组，方可求m的取值范围.解：240,:2;0mpmm解得22:162161643013.qmmmm解得pqpq或及且，pqpq为真，为假或为假，为真，2,2,31213.13mmmmmmm即或解得或或4【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、pqpq或及且两类复合命题的真假判断.变式练习：设有两个命题,p:不等式1xxa的解集为R,q:函数()fx73xa在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a的取值范围是12a.题型四：全称命题、特称命题例5设,AB为两个集合,下列四个命题:(1),ABxAxB有(2)ABAB(3)ABBA(4)ABxAxB使得其中真命题的序号为(4).【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题.解:1231241112ABABABAB若，，，，，，满足，但且，，,所以(1),(2)是假命题;1241ABABBA若，，，，满足但,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是(A).(A)n90sin有一个使si(B)sin2xx存在实数，使(C),sin180sin对一切(D)sin15sin60cos45cos60sin45题型五：综合应用例6已知关于x的实系数二次方程20xaxb有两个实数根,.证明:2且2244b是且b的充要条件.【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是5由条件推出结论，从题目的叙述中可以看出，2且2是条件，244b且b是结论，由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。证明：（1）充分性：由韦达定理得224b.设2()fxxaxb,则函数()fx的图象是开口向上的抛物线,又2,2,(2)0f.即有420ab,420ab联立解得24ab.(2)必要性:由24ab(2)0f且()fx的图象是开口向上的抛物线,方程()0fx的两根,同在(2,2)内或无实根.,是方程()0fx的根,,同在(2,2)内,即2且2.【方法总结】从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的一般步骤是(1)先分清条件与结论,(2)进行互推,(3)根据定义下结论.【思想方法】1.数学思想：本部分用到的数学思想有：划归思想，分类讨论思想亦即否定思想.2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举反例”来说明.第二章椭圆的定义、标准方程及性质1.椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质：6标准方程)0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上)0(12222babxay中心在原点，焦点在y轴上图形范围xayb，xbya，顶点12120000AaAaBbBb，、，，、，12120000AaAaBbBb，、，，、，对称轴x轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上x轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上焦点1200FcFc，、，1200FcFc，、，焦距)0(221ccFF)0(221ccFF离心率)10(eace)10(eace准线2axc2ayc参数方程与普通方程22221xyab的参数方程为cossinxayb为参数22221yxab的参数方程为cossinyaxb为参数3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。推导过程：由第二定义得11PFed（1d为点P到左准线的距离），则211000aPFedexexaaexc；同理得20PFaex。简记为：左“＋”右“－”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。722221xyab；若焦点在y轴上，则为22221yxab。有时为了运算方便，设),0(122nmmnymx。4．求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,ab的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程．（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,abc的方程组，解出22,ab，从而写出椭圆的标准方程．5．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)AxByABAB或22221xymn（2）与椭圆2222221()xymnmn共焦点的椭圆方程可设为2222221(,)xykmknmknk（3）与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆方程可设为22122xykab（10k，焦点在x轴上）或22222yxkab（20k，焦点在y轴上）6．椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了．（2）椭圆的离心率221cbeaa是刻画椭圆性质的不变量，当e越接近于1时，椭圆越扁，当e越接近于0时，椭圆越接近于圆，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次方程，再结合222abc即可求出椭圆的离心率81.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝12．椭圆x225＋y29＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是()A．(5,0)或