集合与函数的概念、重难点解析-人教课标版(精品教案)

《集合与函数》的概念、重难点解析第一章课文目录集合函数及其表示函数的基本性质【重点】、集合的基本概念与表示方法；子集与空集的概念；用图表达集合间的关系。集合的交集与并集的概念；集合的全集、补集的概念；、理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；、区间的概念，求函数的定义域和值域；、函数的三种表示方法，分段函数的概念；、映射的概念；、函数的单调性及其几何意义；、函数的最大（小）值及其几何意义；、函数的奇偶性及其几何意义；【难点】、运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；集合的交集与并集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题；、符号“()”的含义，函数定义域和值域的区间表示；、根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象；、利用函数的单调性求函数的最大（小）值；、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性；、判断函数的奇偶性的方法与格式.一、集集合合的的含含义义与与表表示示．集合的含义（）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（），把一些元素组成的总体叫做集合()（简称为集）。说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。（）表示方法：集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母…表示，而元素用小写的拉丁字母…表示。注意：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征.确定性是指构成集合的元素具有明确的特征，而某一元素在集合中或不在集合中二者必居其一，能够明确的区分,不能模棱两可.互异性是指集合中不同的字母表示不同的元素，而同一元素在集合中不能重复.无序性是指集合的构成与元素的顺序无关，构成集合的元素相同而仅排列的顺序不同应认为是同一个集合.、集合的表示方法（一）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明：()书写时，元素与元素之间用逗号分开；()一般不必考虑元素之间的顺序；()在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；()在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；（二）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号里的方法)。表示形式：{∣}，其中竖线前叫做此集合的代表元素；叫做元素所具有的公共属性；{∣}表示集合是由所有具有性质的那些元素组成的，即若具有性质，则；若,则具有性质。说明:()有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；()应防止集合表示中的一些错误。、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：表示任意一个集合表示{，，}说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.【典型例题】【例】平方后仍等于原数的数集解析：{xx2}{}【例】比大的数的集合解析：{}{}【例】不等式的整数解集解析：{∈}{∈}{}【例】过原点的直线的集合解析：{()}【例】方程的解集解析：{()}{()()()}{()()}【例】使函数612xx有意义的实数的集合解析：{}{且∈}二二、、集集合合间间的的基基本本关关系系.子集定义：一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合，记作（或）,即若任意,有，则(或)。这时我们也说集合是集合的子集（）。如果集合不包含于集合，或集合不包含集合,就记作⊈（或⊉），即:若存在,有，则⊈(或⊉)说明：与是同义的，而与是互逆的。规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合都有。.集合相等定义：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素（即），同时集合的任何一个元素都是集合的元素（即），则称集合等于集合，记作。如：{2m，}，{，}，此时有。.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：()(任何集合都是其自身的子集)；()若，而且（即中至少有一个元素不在中），则称集合是集合的真子集（），记作⊂≠。（空集是任何非空集合的真子集）()对于集合，，，若⊆，⊆，即可得出⊆；对⊂≠，⊂≠，同样有⊂≠,即：包含关系具有“传递性”。.证明集合相等的方法：（1）证明集合，中的元素完全相同；（具体数据）（2）分别证明和即可。（抽象情况）对于集合，，若而且，则。结论：一般地，一个集合元素若为个，则其子集数为个，其真子集数为个，特别地，空集的子集个数为，真子集个数为。三、集集合合间间的的基基本本运运算算.并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的并集()，即与的所有部分，记作∪（读作“并”），即∪{∈或∈}。如上述图（）中的阴影部分。.交集：一般地，由所有属于集合且属于集合的所有元素所组成的集合，叫做与的交集（），即与的公共部分，记作∩（读作“交”），即∩{∈且∈}。如上述图（）中的阴影部分。.一些特殊结论由图—（）有:若B,则∩；由图—（）有:若A,则；特别地，若，两集合中，，,则∩,。.全集如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（），记作。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集，那么有理数集的补集就是全体无理数的集合。.补集(余集)一般地，设是一个集合，是的一个子集（即⊆），由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中集合的补集（或余集），记作，即{∈，且∉}【典型例题】【例】设{}，{},求∩。[涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图—)解：在数轴上作出、对应部分如图∩{}∩{}{}。【例】设{是等腰三角形}，{是直角三角形}，求∩。[此题运用文氏图，其公共部分即为∩].(图)解：∩{是等腰三角形}∩{是直角三角形}{是等腰直角三角形}。【例】设{，，，}，{，，，}，求∪。[运用文氏图解答该题](图)解：{，，，}，{，，，}，则∪{，，，}∪{，，，}{，，，，，}。【例】设{是锐角三角形}，{是钝角三角形}，求∪。解：∪{是锐角三角形}∪{是钝角三角形}{是斜三角形}。【例】设{}{},求∪。[利用数轴，将、分别表示出来，则阴影部分即为所求](图—)解：∪{}∪{}{}.四、函函数数及及其其表表示示、函数的概念设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()和它对应，那么就称:fAB为从集合到集合的一个函数（），记作(),yfxxA，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域（），与的值相队对应的的值叫做函数值，函数值的集合{()}fxxA叫做函数的值域()。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（）对应法则()是一个函数符号，表示为“是的函数”,绝对不能理解为“等于与的乘积”，在不同的函数中，的具体含义不一样；()不一定是解析式，在不少问题中，对应法则可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号()表示外，还常用()、()、()等符号来表示；自变量在其定义域内任取一个确定的值时，对应的函数值用符号()来表示。如函数(),当时的函数值是：()×。注意：()是常量，()是变量，()是函数()中当自变量时的函数值。（）定义域是自变量的取值范围；注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：(与)R()；与②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数的集合；在实际中，还必须考虑所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为，长是宽的倍，其面积为，此函数的定义域为,而不是Rx。（）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。（）区间的概念设、是两个实数，且，规定：（）满足不等式bxa的实数的集合叫做闭区间，表示为b,a；（）满足不等式bxa的实数的集合叫做开区间，表示为b,a；（）满足不等式bxa的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为ba，；（）满足不等式bxa的实数的集合叫做也叫半开半闭区间，表示为b,a；说明：①对于b,a，b,a，ba，，b,a都称数和数为区间的端点，其中为左端点，为右端点，称为区间长度；②引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：（一般不用）；集合表示法：7x3x；区间表示法：73，；③在数轴上，这些区间都可以用一条以和为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；④实数集也可以用区间表示为（∞，∞），“∞”读作“无穷大”，“∞”读作“负无穷大”，“∞”读作“正无穷大”，还可以把满足,,,的实数的集合分别表示为[∞]、（∞）、(∞)、(∞)。、函数的三种表示方法（）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如222321,,2,6yxxSrCrSt等。优点：函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。、分段函数把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.如是一个分段函数.分段函数表示的是一个函数,而不是几个函数，分段函数只有一个图象，作图时只能作在同一坐标系中，不能将其肢解，而把各段函数图象分别作到不同的坐标系中。分段表示设是两个互不相交的实数集合,)x(和)x(是分别定义在集合和集合上的函数,则Bx),x(Ax),x()x(f是定义在集合BA上的函数.这样的函数表示形式成为函数的分段表示,简称为分段函数.这里函数f是分成两段来表示的,事实上,分段表示可以分成任意有限段或无限段.、映射的定义一般地，设、是两个集合，如果按照某种对应法则ƒ，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合、及到的对应法则）叫做集合到集合的映射。记作：：→一般地，一个映射：→，若满足：a.对于集合的不同元素，在集合中有不同的象;(单射)b.集合中每一个元素都有原象；（满射）那么这个映射叫做到上的一一映射。注意：（）一一映射是一种特殊的映射（到是映射，到也是映射，或从一一映射定义解释）；（）若在映射：→中，象的集合≠，则映射不是一一映射，即是一一映射的必要条件。、象，原象的概念给定一个集合到集合的映射，且∈，∈。如果在对应法则的作用下，元素和元素对应，则元素叫做元素（在下）的象，元素叫做元素（在下）的原象。注意：（）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；（），可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“：→”表示到的映射，符号“：→”表示到的映射，两者是不同的；（）集合中的元素一定有象，并且象是唯一的，但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象；【典型例题】【例】已知1)(3xxfy，求)2(f，)1(af，2)]([xf，)1(xf.解析：912)2(3faaaaaf331)1()1(23312)1()]([36232xxxxf111)1()1(33xxxf求函数定义域时，要注意两点：（）在实际问题中，函数的定义域要由实际问题的意义确定.例如前面提到的圆的面积S与半径r之间的函数关系2rS，由于圆的半径不能为