1.1-线性方程组的基本概念

第1章线性方程组1.2阶梯方程组的回代法1.1线性方程组的基本概念1.3线性方程组的消元法1.1.1线性方程1.1.2线性方程组的表示与解1.1线性方程组的基本概念1.1.3线性方程组的分类内容小结线性方程组的基本概念3/151.1.1线性方程“线性”一词源于解析几何中Descartes平面坐标系下的一次方程是直线方程,一个n元线性方程是指具有如下形式的方程a1x1a2x2anxnb,其中x1,x2,,xn称为未知量,a1,a2,,an称为系数,b称为常数项.例如,2x4是一元线性方程;后来就将一次的称为线性的.线性方程组的基本概念4/15平面上的直线方程是二元线性方程.方程4x12x2x1x2,和都不是线性方程.1225xx2125xx线性方程组的基本概念5/15几何意义一元线性方程axb(a0)表示数轴上的一个点;二元线性方程表示平面上的一条直线;三元线性方程则表示空间中的一个平面;数学上称n(n4)元线性方程为超平面.112233123(,,)axaxaxbaaa不全为零112212(,)axaxbaa不全为零线性方程组的基本概念6/151.1.2线性方程组的表示与解一个n元线性方程组是指一些含相同的n个未知量的线性方程所构成的组.注组不同于集合!组中元素有序且允许重复,集合中元素无序且相异.线性方程组的基本概念7/151223,xx例如,二元线性方程组1221.xx三元线性方程组1232,xxx1232235,xxx1233457.xxx线性方程组的基本概念8/15线性方程组的几何意义二元线性方程组表示平面上若干条直线的交点.三元线性方程组表示空间中若干个平面的交点.线性方程组的基本概念9/1512122321xxxx二元线性方程组的几何意义线性方程组的基本概念10/15三元线性方程组的几何意义123123123222353457xxxxxxxxx线性方程组的基本概念11/15由m个n元线性方程构成的线性方程组可表示为11112211,nnaxaxaxbmn线性方程组的一个解是指n个数组成的有序数组c1,c2,,cn,m个方程都成立.1122,mmmnnmaxaxaxb21122222,nnaxaxaxb当x1,x2,,xn依次用c1,c2,,cn代入后,称之为mn线性方程组.线性方程组的基本概念12/15用W表示线性方程组的全部解的集合,称为解集.有相同的解集的两个方程组称为同解方程组.若W,则称该方程组为相容的或有解.若W,则称该方程组为不相容的或矛盾的或无解.若W只含一个元素,则称该方程组有唯一解.W中任何一个元素,称为该方程组的一个特解;W中全部元素的一个通用表达式称为该方程组的通解或一般解.线性方程组的基本概念13/15对于mn线性方程组则称此方程组为齐次线性方程组;之为非齐次线性方程组.11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb则称1.1.3线性方程组的分类若常数项b1,b2,,bm不全为零,若常数项b1,b2,,bm全为零,线性方程组的基本概念14/15mn齐次线性方程组因为x10,x20,,xn0就是它的一个解,称为零解;为零,则称为非零解.1111221211222211220,0,0nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax若一个解中x1,x2,,xn的取值不全总是有解的,我们关心的是齐次线性方程组是否有非零解.线性方程组的基本概念15/151.线性方程组的表示2.线性方程组的解同解方程组,相容方程组,矛盾方程组特解,通解3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组零解,非零解内容小结