2014年高一数学第一章集合与函数概念训练题

1．3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性基础达标1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa－fba－b0，则必有()．A．函数f(x)先增后减B．f(x)是R上的增函数C．函数f(x)先减后增D．函数f(x)是R上的减函数解析由fa－fba－b0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．答案B2．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()．A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，所以2m－m＋9，即m3.答案C3．(2013·天津高一检测)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是()．A．y＝1xB．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝－2x＋1解析函数y＝1x在(0，＋∞)上是减函数；y＝|x|＋1在(0，＋∞)上是增函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝－2x＋1在(0，＋∞)上是减函数．答案B4．(2013·盐城高一检测)已知f(x)＝x2－2mx＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m的范围为________．解析∵f(x)的对称轴方程为x＝m，∴要使f(x)在(－∞，－1]上是减函数，只需m≥－1.答案[－1，＋∞)5．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)f12的实数x的取值范围为________．解析由题设得－1≤x≤1，x12，即－1≤x12.答案－1≤x126．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．解析y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3xx0，x2－3xx≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为0，32.答案0，327．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.(1)求b与c的值；(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．(1)解∵f(1)＝0，f(3)＝0，∴1＋b＋c＝0，9＋3b＋c＝0，解得b＝－4，c＝3.(2)证明由(1)知f(x)＝x2－4x＋3，任取x1，x2∈(2，＋∞)且x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＝(x21－4x1＋3)－(x22－4x2＋3)＝(x21－x22)－4(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)，∵x1－x2＜0，x1＞2，x2＞2，∴x1＋x2－4＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上为增函数．能力提升8．下列说法中正确的有()．①若x1，x2∈I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个解析函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数；④y＝1x的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．答案A9．(易错题)函数f(x)＝1x＋1在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．解析f(x)＝1x＋1的单调减区间为(－1，＋∞)与(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，∴a≥－1.答案[－1，＋∞)10．讨论函数f(x)＝ax＋1x＋2a≠12在(－2，＋∞)上的单调性．解f(x)＝ax＋1x＋2＝a＋1－2ax＋2，设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)x2－x1x2＋2x1＋2，∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，又(x2＋2)(x1＋2)＞0.(1)若a＜12时，1－2a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．(2)若a＞12，则1－2a＜0.∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．综上，当a＜12时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a＞12时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．第2课时函数的最值基础达标1．(2013·温州高一检测)设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)()．A．只有最大值B．只有最小值C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值解析f(x)＝x2x≥0，－x2x＜0，画出图象可知，既无最大值又无最小值．答案D2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为()．A．42,12B．42，－14C．12，－14D．无最大值，最小值为－14解析∵f(x)＝x＋322－14，x∈(－5,5)，∴当x＝－32时，f(x)有最小值－14，f(x)无最大值．答案D3．函数f(x)＝11－x1－x的最大值是()．A.45B.54C.34D.43解析t＝1－x(1－x)＝x－122＋34≥34.∴0＜f(x)≤43，即f(x)的最大值为43.答案D4．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最小值是________．解析f(x)＝xx＋2＝1－2x＋2在x∈[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12.答案125．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析由题意知，f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1a≤3.答案(1,3]6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________．解析设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地销售(15－x)辆，根据题意，总利润y＝－x2＋21x＋2(15－x)(0≤x≤15，x∈N)整理得：y＝－x2＋19x＋30.函数的对称轴为x＝192.∵x∈N，∴x＝9或10时，y取得最大值120万元．答案120万元7．(2013·梅州高一检测)画出函数f(x)＝－2x，x∈－∞，0，x2＋2x－1，x∈[0，＋∞，的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.能力提升8．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()．A．－1B．0C．1D．2解析f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，则f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴f(x)max＝f(1)＝3＋a＝1.答案C9．已知函数y＝f(x)是(0，＋∞)上的减函数，则f(a2－a＋1)与f34的大小关系是________．解析∵a2－a＋1＝a－122＋34≥34，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f34.答案f(a2－a＋1)≤f3410．(2013·南昌高一检测)某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450元为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，假设一个旅行团体不能超过70人．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数式；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)设旅行团的人数为x，机票价格为y元，则：y＝900，1≤x≤30，900－x－30·10，30＜x≤70，即y＝900，1≤x≤30，1200－10x，30＜x≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q元，则：Q＝900x－15000，1≤x≤30，1200－10xx－15000，30＜x≤70，即Q＝900x－15000，1≤x≤30，－10x2＋1200x－15000，30＜x≤70，当x∈[1,30]时，Qmax＝900×30－15000＝12000(元)，当x∈(30,70]时，Q＝－10(x－60)2＋21000，∴x＝60时，取Qmax＝21000(元)，∴当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21000元.1.3.2奇偶性基础达标1．下列函数是偶函数的是()．A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0,1]解析A选项是奇函数；B选项为偶函数；C、D选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．答案B2．(2013·济南高一检测)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()．A.12B.23C.34D．1解析函数f(x)的定义域为{x|x≠－12且x≠a}．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝12.答案A3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()．A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)解析∵f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．答案A4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.答案－35．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．解析∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.答案06．函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)0，则a＋b________0(填“”“”或“＝”)．解析由f(a)＋f(b)0，得f(a)＞－f(b)．∵f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．∴f(a)f(－b)，又f(x)为减函数，∴a－b，即a＋b0.答案7．(2013·泰安高一检测)函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f12＝25.(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性，并且用定义证明你的结论．解(1)根据题意得f0＝0，f12＝25，即a×0＋b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25，解得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x1＋x2.(2)任意x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝x1－x21－x1x21＋x211＋x22∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1－x1x2＞0，从而f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故f(x)在(－1,1)上是增函数．能力提升8．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)＜f(－2)，则下列不等式一定成立的是()．A．f(－1)＜f(3)B．f(2