2014高考文数一轮复习讲义(函数的单调性与最值)

2014高考文数大一轮复习讲义函数的单调性与最值——整理:小Z知识梳理一．函数的单调性1.单调函数的定义1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当＜时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.2.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二.函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意x属于I，都有f(X)=M；（2）x0属于Ｉ，使得f（x0）=M.那么，我们称是函数y=f(x)的最大值.一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意x属于I，都有f(X)=M；（2）x0属于Ｉ，使得f（x0）=M.那么，我们称是函数y=f(x)的最小值.例题精析【例一】证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x10则∵x10，x20，∴∴上式0，∴△y=f(x2)-f(x1)0∴上递减.探究提高：用定义法证明函数的单调性步骤如下：取值——作差——变形——定号——得出结论举一反三：用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则∵0x1x2≤1∴x1-x20，0x1x21∵0x1x21故，即f(x1)-f(x2)0∴x1x2时有f(x1)f(x2)上是减函数.【例二】已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.探究提高：已知函数单调性求参数的值或取值范围，可通过解不等式等方法求解。但要注意，如果函数在某区间内是单调的，则其在此区间的任意子集上也是单调的。举一反三：已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.【例三】[2013·宝鸡模拟]已知函数g(x)＝x＋1，h(x)＝1x＋3，x∈(－3，a]，其中a为常数且a0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝x＋1x＋3，x∈[0，a]，(a0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，14]，令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，32]，f(x)＝F(t)＝tt2－2t＋4＝1t＋4t－2，∵t＝4t时，t＝±2∉[1，32]，又t∈[1，32]时，t＋4t单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[13，613]．即函数f(x)的值域为[13，613]．举一反三：已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.习题精练一、选择填空。1．（2013北京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（A）y=(B)y=e-x（C）y=-x2+1(D)y=lg∣x∣2．(2011年广东惠州调研)已知定义域为(－1,1)的奇函数y＝f(x)又是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)0.则a的取值范围是()A．(3，10)B．(22，3)C．(22，4)D．(－2,3)3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)4.（2012安徽）若函数()|2|fxxa的单调递增区间是[3,),则_____a5．(2011江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是__________．6．(2011上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)＝x＋g(x)在[3,4]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为____________．7.（2012福建）已知关于x的不等式220xaxa在R上恒成立,则实数a的取值范围是_________.8．(2011北京)已知函数f(x)＝2xx，x－3x，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则数k的取值范围是________．9.（2012浙江））设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f2（）=_______________.10.（2012山东）若函数()(0,1)xfxaaa在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数()(14)gxmx在[0,)上是增函数,则a=____.二、解答题。1．（2013江苏高三模拟）求函数142yxx的最大值.2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4x(x≠0)．(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)若f(x)在[3，＋∞)上恒大于0，求a的取值范围．3.（2013湖南）已知函数21()1xxfxex（Ⅰ）求()fx的单调区间（Ⅱ）证明：当1212()()()fxfxxx时，120xx