2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业39

课时作业(三十九)1．等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为()A．2B．4C．8D．16答案D解析∵{an}为等差数列，∴a7＝a3＋a112＝4＝b7.又{bn}为等比数列，b6·b8＝b27＝16，故选D.2．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8等于()A．1＋2B．1－2C．3＋22D．3－22答案C解析记等比数列{an}的公比为q，其中q0，则有a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±2.又q0，因此q＝1＋2.所以a9＋a10a7＋a8＝a7q2＋a8q2a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22.选C.3．(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110答案D解析因为a7是a3与a9的等比中项，所以a27＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以S10＝10a1＋a102＝5(20＋2)＝110，故选择D.4．(2013·江苏常州)已知数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是()A．[24,36]B．[27,33]C．{a|27≤a≤33，a∈N*}D．{a|24≤a≤36，a∈N*}答案A解析当a6为an的最小值时，由题意得a5≥a6且a7≥a6，∴解得24≤a≤30；当a7为an的最小值时，由题意，a6≥a7且a8≥a7，解得30≤a≤36，∴24≤a≤36.5．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()12121abcA.1B．2C．3D．4答案A解析由题意知，a＝12，b＝516，c＝316.故a＋b＋c＝1，故选A.6．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数．．．中不同的数的个数为Tn，则T4＝________.答案2n－110解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝1－2n1－2＝2n－1.当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1、4，第3次生成的数为1、2，－4、7，第4次生成的数为－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故T4＝10.7．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．答案12或1解析设数列{an}的公差为d，由题可知，a23＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1、a3、a4分别为－4d、－2d、－d，所以等比数列{bn}的公比为12.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．答案13解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0.∴q＝13.9．(2012·海淀区)设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．答案10100解析由x2－x2nx(n∈N*)，得0x2n＋1，因此an＝2n，所以数列{an}是一个等差数列，所以S100＝100×2＋2002＝10100.10．等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，a4＝b4，a10＝b10.(1)求实数a1和d的值．(2)b16是不是{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．答案(1)a1＝32，d＝－32(2)b16为{an}中的第34项解析(1)依题意知an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1·qn－1＝a1·dn－1.由a4＝b4，a10＝b10，得a1＋3d＝a1d3，a1＋9d＝a1d9.即3d＝a1(d3－1)，9d＝a1(d9－1)，以上两式相除并整理得d6＋d3－2＝0.解得d3＝1，或d3＝－2.∵d≠1，∴d3＝－2，d＝－32，代入原方程解得a1＝32.故a1＝32，d＝－32.(2)由(1)得，数列{an}，{bn}的通项分别为an＝(2－n)32，bn＝－(－32)n.故b16＝－(－32)16＝－3232.由(2－n)32＝－3232，解得n＝34.故b16为{an}中的第34项．11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求an与bn；(2)设cn＝3bn－λ·2an3(a∈R)，若数列{an}是递增数列，求λ的取值范围．答案(1)an＝3n，bn＝3n－1(2)λ3解析(1)由已知可得q＋3＋a2＝12，3＋a2＝q2，∴q2＋q－12＝0.解得q＝3或q＝－4(舍)．从而a2＝6.∴an＝3n，bn＝3n－1.(2)由(1)知cn＝3bn－λ·2an3＝3n－λ·2n，由数列{cn}是递增数列可得：cn＋1cn对任意的n∈N*恒成立，即3n＋1－λ·2n＋13n－λ·2n恒成立，亦即λ·2n2·3n恒成立，即λ2·(32)n恒成立．由于函数y＝(32)n是增函数，∴[2·(32)n]min＝2·32＝3，∴λ3.12．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，那么每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)解析(1)第1年末的住房面积a·1110－b＝1.1a－b(m2)，第2年末的住房面积(a·1110－b)·1110－b＝a·(1110)2－b(1＋1110)＝1.21a－2.1b(m2)．(2)第3年末的住房面积[a·(1110)2－b(1＋1110)]1110－b＝a·(1110)3－b[1＋1110＋(1110)2]，第4年末住房面积为a·(1110)4－b[1＋1110＋(1110)2＋(1110)3]，第5年末住房面积为a·(1110)5－b[1＋1110＋(1110)2＋(1110)3＋(1110)4]＝1.15a－1－1.151－1.1b＝1.6a－6b.依题意可知，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝a20.所以每年拆除的旧房面积为a20(m2)．13．(2012·福建)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8.{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解析(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋10×92d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝29.14．(2012·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解析(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1.2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n.所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.1．(2011·江苏)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．答案33解析设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，t＋1，3t＋2}，故q的最小值是33.2．(2011·陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．答案2000解析当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了320米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．3．在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sm，若对任意的正整数m、n都有不等式S2m＋S2n2Sm＋n(m≠n)恒成立，且2S6S3.(1)设{an}为等差数列，且公差为d，求a1d的取值范围；(2)设{an}为等比数列，且公比为q(q0且q≠1)，求a1－q的取值范围.解析(1)∵S2m＋S2n2Sm＋n，∴2ma1＋2m2m－12d＋2na1＋2n2n－12d2[(m＋n)a1＋m＋nm＋n－12d]．∴(m－n)2d0，∴d0.又2S6S3，∴2(6a1＋6×52d)3a1＋3×22d.∴9a1＋27d0，∴a1d－3.(2)∵S2m＋S2n2Sm＋n，∴a11－q(1－q2m)＋a11－q(1－q2n)2a11－q(1－qm＋n)．∴a11－q(－q2m－q2n＋2qm＋n)0.∴－a11－q(qm－qn)20，∴a11－q0.又2S6S3，∴2·a11－q(1－q6)a11－q(1－q3)．∴2q6－q3－10，∴－12q31.又∵q0，∴0q1.又∵a11－q0，∴a10，∴a1－q－1.4．(2011·陕西理)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.解析(1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex，得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)．由y＝