2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业55

课时作业(五十五)(第一次作业)1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°答案B解析连接A1D，DC1，A1C1，∵E，F为A1D，A1C1中点，∴EF∥C1D.∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1→，CM→〉的值等于()A.12B.21015C.23D.1115答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1，∴DB1→＝(1,1,1)，CM→＝(1，－12，0)．∴cos〈DB1→，CM〉＝1－123·52＝1515.∴sin〈DB→，CM→〉＝21015.3．(2012·陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC—A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35答案A解析不妨设CB＝1，则CA＝CC1＝2.由题图知，A点的坐标为(2,0,0)，B点的坐标为(0,0,1)，B1点的坐标为(0,2,1)，C1点的坐标为(0,2,0)．所以BC1→＝(0,2，－1)，AB1→＝(－2,2,1)．所以cos〈BC1→，AB1→〉＝0×－2＋2×2＋－1×135＝55.4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.12B.32C.35D.45答案D解析取AC中点E，令AB＝2分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建系B1(3，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,2)，DB1→＝(3，0,0)，DC→＝(0,1，－2)，DA→＝(0，－1，－2)，平面B1DC法向量为n＝(0,2,1)cos〈DA→，n〉＝－45∴AD与面B1DC所成的角正弦值为45.5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.32B.52C.105D.1010答案C解析连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1.连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，OC1＝12A1C1＝12AC＝22，BC1＝42＋22＝25.通过计算得sin∠C1BO＝OC1BC1＝105.6．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()A.63B.33C.23D.13答案B解析以正三棱锥O－ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．侧面OAB的法向量为OC→＝(0,0,1)，底面ABC的法向量为n＝(13，13，13)．∴cos〈OC→，n〉＝OC→·n|OC→|·|n|＝131·132＋132＋132＝33.7．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．答案30°解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－a2，a2)．则CA→＝(2a,0,0)，AP→＝(－a，－a2，a2)，CB→＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB→，n〉＝CB→·n|CB→||n|＝a2a2·2＝12.∴〈CB→，n〉＝60°.∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.8．(2011·大纲全国理)己知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．答案23解析设面AEF与面ABC所成的二面角为θ，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，则△AEF在面ABC上的射影是△ABC.在△AEF中，AE＝32＋12＝10，AF＝322＋22＝22，EF＝2－12＋32＝10.△AEF的面积等于12×22×102－12222＝3112，而△ABC的面积等于12×32＝92，因此有cosθ＝S△ABCS△AEF＝311，sinθ＝1－cos2θ＝211，tanθ＝sinθcosθ＝23，即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是23.9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．答案(1,1,1)解析连接AC，BD交于O，连接OE，cos〈DP→，AE→〉＝33，∴cos∠AEO＝33.又∵OA＝2，∴OE＝1，∴E为(1,1,1)．10．(2012·天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．解析(1)如图，在四棱锥P—ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝PDAD＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线．故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC.因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.11.如右图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12.求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值．解析以A为坐标原点，BA、AD、AS所在直线分别为x、y、z建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0,0,1)，C(－1,1,0)，D(0，12，0)．∴SC→＝(－1,1，－1)，SD→＝0，12，－1.设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)．∵n⊥SC→，n⊥SD→，∴n·SC→＝0，n·SD→＝0.即－x＋y－z＝0，y2－z＝0.解得x＝z，y＝2z.令z＝1，则n＝(1,2,1)．又∵平面SAB的法向量为AD→＝0，12，0，∴cos〈n，AD→〉＝n·AD→|n|·|AD→|＝0＋1＋06×12＝63.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角．∴所求二面角的余弦值为arccos63.12.(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．解析(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)方法一由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(32，－12，0)，F(0,0,1)．因此BD→＝(32，－32，0)，BF→＝(0，－1,1)．设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·BD→＝0，m·BF→＝0.所以x＝3y＝3z.取z＝1，则m＝(3，1,1)．由于CF→＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则cos〈m，CF→〉＝m·CF→|m||CF→|＝15＝55.所以二面角F－BD－C的余弦值为55.方法二取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD.又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG.故BD⊥FG.所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝12CB.又CB＝CF，所以GF＝CG2＋CF2＝5CG.故cos∠FGC＝55.因此二面角F－BD－C的余弦值为55.13．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．(1)求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；(3)当BC1⊥B1P时，求二面角C－B1P－C1的余弦值．解析(1)VABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝34×22×2＝23.(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AP＝a，则A，C，B1，P的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a)．AC→＝(0,2,0)，B1P→＝(－3，－1，a－2)，AC→·B1P→＝－2≠0，∴B1P不垂直AC.∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．(3)BC1→＝(－3，1,2)，由BC1⊥B1P，得BC1→·B1P→＝0.即2＋2(a－2)＝0，∴a＝1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P.∴BC1→＝(－3，1,2)是平面CB1P的法向量．设平面C1B1P的法向量为n＝(1，y，z)，由B1P→·n＝0，B1C1→·n＝0，则n＝(1，3，－23)．设二面角C－B1P－C1的大小为α，则cosα＝|BC1→·n||BC1→|·|n|＝64.∴二面角C－B1P－C1的余弦值的大小为64.