2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第六章第5课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·天津一中高三月考)已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x＋1}，B＝{x||x－1|＋|x－2|2}，则()∁UA∩B＝()A．∅B.x|12x≤1C．{x|x1}D．{x|0x1}解析：选B.A＝{y|y＝2x＋1}＝{y|y1}，B＝{x||x－1|＋|x－2|2}＝{x|12x52}，所以∁UA＝{y|y≤1}，所以()∁UA∩B＝x|12x≤1.2．(2014·武汉市高三调研测试)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值为()A．2B．22C．23D．4解析：选C.因为logmn＝－1则mn＝1，且m0，m≠1，n0.所以m＋3n≥23mn＝23，当且仅当m＝3n，即m＝3，n＝33时等号成立．故m＋3n的最小值为23.3．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为()A.43B．1C.23D.13解析：选A.由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2，即3(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥43.即x2＋y2＋z2的最小值为43.4．(2014·武汉市高三模拟考试)已知2x2＋3y2＋6z2－a＝0，x＋y＋z＋2－a＝0，则实数a的取值范围为()A．[1,4]B．(－∞，1]∪[4，＋∞)C．(1,4)D．(－∞，1)∪(4，＋∞)解析：选A.由柯西不等式，得[]()2x2＋()3y2＋()6z2122＋132＋162≥2x·12＋3y·13＋6z·162，即a12＋13＋16≥(a－2)2，解得1≤a≤4.二、填空题5．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－a，若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．解析：由题意，|x＋1|＋|x－2|－a≥0对任意x∈R恒成立，即|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立．因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以3≥a.即实数a的取值范围是(－∞，3]．答案：(－∞，3]6．已知x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，则14(x2＋y2＋z2)≥1.所以x2＋y2＋z2≥114.故x2＋y2＋z2的最小值是114.答案：1147．(2014·武汉市高三调研考试)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集是________．解析：当x－2时，不等式可化为－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x≤1时，不等式可化为－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x1时，不等式可化为(x－1)＋(x＋2)≥5，解得x≥2.综上，不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[2，＋∞)8．已知x0，y0，且2x＋y＝6，则x2y的最大值为________．解析：因为x0，y0，所以x2y＝x·x·y≤x＋x＋y33＝8，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．答案：89．(2014·湖北省公安三中高三月考)已知x，y，z为正实数，且1x＋1y＋1z＝1，则x＋4y＋9z的最小值为________，此时x＝________，y＝________，z＝________.解析：x＋4y＋9z＝(x＋4y＋9z)1x＋1y＋1z＝14＋xy＋4yx＋xz＋9zx＋4yz＋9zy≥14＋2xy·4yx＋2xz·9zx＋24yz·9zy＝36，当且仅当xy＝4yx，xz＝9zx，4yz＝9zy，即x＝2y＝3z，即x＝6，y＝3，z＝2时等号成立．答案：3663210．空间向量α＝(1,1,1)，β＝(x，y，z)，已知|β|＝33，则(1)α·β的最大值为________；(2)此时β＝________.解析：(1)由柯西不等式|α·β|≤|α||β|，得|α·β|≤3×33，所以|α·β|≤9.故α·β≤9.(2)由柯西不等式成立的条件可知，β＝3α，故β＝(3,3,3)．答案：(1)9(2)(3,3,3)11．(2014·黄冈市黄冈中学高三模拟考试)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且ln2x＋ln2y＋ln2z＝13，则x2yz的最大值为________．解析：由柯西不等式，得(ln2x＋ln2y＋ln2z)[22＋(－1)2＋(－1)2]≥(2lnx－lny－lnz)2，则lnx2yz2≤2，得－2≤lnx2yz≤2，则e－2≤x2yz≤e2.即x2yz的最大值为e2.答案：e212．若不等式|3x－b|4的解集中整数有且仅有1,2,3，则实数b的取值范围是________．解析：不等式|3x－b|4⇔－43x－b4，所以b－43xb＋43.(*)若原不等式的整数解只有1,2,3，由(*)式，知0≤b－431且3b＋43≤4，解得4≤b7且5b≤8，所以5b7.答案：(5,7)[能力提升]一、选择题1．(2014·湖北省八校高三联考)若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值为()A.5B．215C．230D.30解析：选C.由柯西不等式，得[]2x＋12＋3y＋42＋5z＋62(12＋12＋12)≥(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2，则3(2x＋3y＋5z＋11)≥(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2，即3(29＋11)≥(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2，所以2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230.即函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值为230.2．(2012·高考湖北卷)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z＝()A.14B.13C.12D.34解析：选C.由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①①与a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，所以不妨令x－a＝ay－b＝bz－c＝c或x－a＝by－b＝cz－c＝a，则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即a＋b＋cx＋y＋z＝12.二、填空题3．(2014·武汉市部分学校高三联考)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c＋1＋9a＋9的最大值为________．解析：由题意，a0，且4ac－164a＝0，则ac＝4.故1c＋1＋9a＋9＝a＋9＋9c＋9c＋1a＋9＝a＋9c＋18ac＋a＋9c＋9＝a＋9c＋18a＋9c＋13＝1＋5a＋9c＋13≤1＋52a·9c＋13＝65，当且仅当a＝9c，即a＝6，c＝23时等号成立．故1c＋1＋9a＋9的最大值为65.答案：654．设x，y，z∈R，若2x－3y＋z＝3，则x2＋(y－1)2＋z2的最小值为________，且此时y＝________.解析：由2x－3y＋z＝3，得2x－3(y－1)＋z＝6，故由柯西不等式得[x2＋(y－1)2＋z2][22＋(－3)2＋12]≥(2x－3y＋3＋z)2＝36，∴x2＋(y－1)2＋z2≥3614.所以最小值为187，x2＝y－1－3＝z1＝t，因为2x－3y＋z＝3，∴2(2t)－3(－3t＋1)＋t＝3，所以t＝37.所以y＝－27.答案：187－275．(2014·陕西省重点中学高三模拟考试)对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m，则m的值为________．解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤|a＋b|＋|a－b||a|对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即|a|≥|b|时，|a＋b|＋|a－b||a|≥2成立，也就是|a＋b|＋|a－b||a|的最小值是2.答案：26．(2014·湖北省黄冈模拟)已知M是△ABC内的一点(不含边界)，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y，z，记f(x，y，z)＝1x＋4y＋9z，则f(x，y，z)的最小值是________．解析：根据AB→·AC→＝23，得AB·AC＝4，故△ABC的面积是12AB·ACsin30°＝1，即x＋y＋z＝1.故f(x，y，z)＝1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)(1x＋4y＋9z)＝14＋4xy＋9xz＋yx＋9yz＋zx＋4zy＝14＋4xy＋yx＋9xz＋zx＋9yz＋4zy≥14＋4＋6＋12＝36.等号当且仅当y＝2x，z＝3x,3y＝2z时成立．答案：367．设a，b，c，x，y，z均为正实数，且满足a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则a＋b＋cx＋y＋z＝________.解析：由柯西不等式等号成立的条件，知ax＝by＝cz＝λ，再由等比定理，得a＋b＋cx＋y＋z＝λ.因此只需求λ的值即可．由柯西不等式，得302＝(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝25×36，当且仅当ax＝by＝cz＝λ时，上式等号成立．于是a＝λx，b＝λy，c＝λz.从而有λ2(x2＋y2＋z2)＝25，解得λ＝±56(舍负)，即ax＝by＝cz＝56.答案：568．(2014·湖南长沙市高三模拟)已知x0，y0，z0，x＋2y＋3z＝3，那么x＋14y2＋2y＋16z2＋3z＋12x2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得x＋14y2＋2y＋16z2＋3z＋12x2(12＋12＋12)≥x＋14y＋2y＋16z＋3z＋12x2，即3x＋14y2＋2y＋16z2＋3z＋12x2≥3＋12x＋14y＋16z2，当且仅当x＋14y＝2y＋16z＝3z＋12x时等号成立．因为12x＋14y＋16z＝x＋2y＋3z3×2x＋x＋2y＋3z3×4y＋x＋2y＋3z3×6z＝16＋y3x＋z2x＋x12y＋16＋z4y＋x18z＋y9z＋16＝12＋y3x＋x12y＋z2x＋x18z＋z4y＋y9z≥12＋2y3x·x12y＋2z2x·x18z＋2z4y·y9z＝32，当且仅当y3x＝x12y，z2x＝x18z，z4y＝y9z，即x∶y∶z＝6∶3∶2时等号成立，且x∶y∶z＝6∶3∶2也满足x＋14y＝2y＋16z＝3z＋12x，即两次等号可以同时成立，所以3x＋14y2＋2y＋16z2＋3z＋12x2≥3＋322.即x＋14y2＋2y＋16z2＋3z＋12x2≥274.答案：274