2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第六章第7课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C.由于f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选B.由空间立体几何的知识可知B正确．3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的面积S＝πabD．由(1＋1)221，(2＋1)222，(3＋1)223，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)22n解析：选A.选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}为等差数列，其前n项和等于Sn＝n1＋2n－12＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B.①②正确；③④⑤⑥错误．5．(2012·高考江西卷)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：选C.记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.二、填空题6．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是________．解析：因为a1＝3－1，a2＝3×2－1，a3＝3×3－1，a4＝3×4－1，由此猜想an＝3n－1.答案：an＝3n－17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，所以T8T4＝a5a6a7a8，T12T8＝a9a10a11a12，T16T12＝a13a14a15a16，所以T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．答案：T8T4T12T88．(2014·湖北省七市高三联考)挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式－阿贝尔公式：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝a1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋Ln－1(bn－1－bn)＋Lnbn.则其中：(1)L3＝________；(2)Ln＝________.解析：(1)由图象(a)(b)可知，a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝a1(b1－b2)＋(a1＋a2)(b2－b3)＋(a1＋a2＋a3)(b3－b4)＋(a1＋a2＋a3＋a4)(b4－b5)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)b5，所以L3＝a1＋a2＋a3.(2)归纳推理可知：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝a1(b1－b2)＋(a1＋a2)(b2－b3)＋(a1＋a2＋a3)(b3－b4)＋…＋(a1＋a2＋a3＋…＋an)bn，所以Ln＝a1＋a2＋a3＋…＋an.答案：(1)a1＋a2＋a3(2)a1＋a2＋a3＋…＋an三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12，…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2014是第几行的第几个数？解：(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n－1＋2n－1·2n－12＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,102420142048，∴2014在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2014－1024＋1＝991，知2014是第11行的第991个数．[能力提升]一、选择题1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝()A.18B.19C.164D.127解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.2．(2014·山东枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931………A．809B．852C．786D．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.二、填空题3．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.答案：S21＋S22＋S23＝S244．(2014·宜昌市一中高三考前模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来13的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依次规律得到n级分形图．则(1)n级分形图中共有________条线段．(2)n级分形图中所有线段长度之和为________.解析：(1)依题意，记n级分形图中共有an条线段，则有a1＝3，…，an－an－1＝3·2n－1.由累加法得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝3()1＋2＋…＋2n－1＝3·1－2n1－2＝3(2n－1)．(2)n级分形图中所有线段的长度和等于3×1＋3×2×13＋…＋3×2n－1×13n－1＝3×1－23n×31－23＝91－23n.答案：(1)3(2n－1)(2)91－23n三、解答题5．(2012·高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos60°－2α2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.6．(选做题)设函数fn(θ)＝sinnθ＋(－1)ncosnθ，0≤θ≤π4，其中n为正整数．(1)判断函数f1(θ)，f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论；(2)证明：2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)(cos2θ－sin2θ)．解：(1)f1(θ)，f3(θ)在0，π4上均为单调递增函数．对于函数f1(θ)＝sinθ－cosθ，设θ1θ2，θ1，θ2∈0，π4，则f1(θ1)－f1(θ2)＝(sinθ1－sinθ2)＋(cosθ2－cosθ1)，∵sinθ1sinθ2，cosθ2cosθ1，∴f1(θ1)－f1(θ2)0，∴f1(θ1)f1(θ2)，函数f1(θ)在0，π4上单调递增．(2)证明：∵原式左边＝2(sin6θ＋cos6θ)－(sin4θ＋cos4θ)＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θ·cos2θ＋cos4θ)－(sin4θ＋cos4θ)＝sin4θ－2sin2θcos2θ＋cos4θ＝(sin2θ－cos2θ)2＝cos22θ.又∵原式右边＝(cos2θ－sin2θ)2＝cos22θ.∴2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)·(cos2θ－sin2θ)．