2015届高考数学二轮复习专题检测13以函数为背景的创新题型

113以函数为背景的创新题型1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为________．答案③解析如图，平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除④；当t＝－12时，S14Smax，排除①②.2．设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤k(k0)，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f(x)＝lnx与g(x)＝mx－1x在[1e，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是________．答案[－1，e＋1]解析设h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－mx－1x＝－m＋1x＋lnx，h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2，故当x∈[1e，1)时，h′(x)0，函数h(x)单调递减；当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，函数h(x)单调递增．所以函数h(x)的最小值为h(1)＝－m＋1，而h(1e)＝－m＋e－1，h(e)＝－m＋1e＋1，显然e－11e＋1，所以h(1e)h(e)，2故函数h(x)的最大值为h(1e)＝－m＋e－1.故函数h(x)在[1e，e]上的值域为[－m＋1，－m＋e－1]．由题意，得|h(x)|≤e，即－e≤h(x)≤e，所以－m＋1≥－e，－m＋e－1≤e，解得－1≤m≤1＋e.3．(2014·苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝ex＋tex＋1是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是________．答案[12，2]解析因为对任意的实数x1，x2，x3∈R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)＋f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立．由f(x)＝ex＋tex＋1＝1＋t－1ex＋1，设ex＋1＝m(m1)，则原函数可化为f(m)＝1＋t－1m(m1)，当t1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(m)∈(1，t)，此时2f(x1)＋f(x2)2t,1f(x3)t，要使f(x1)＋f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需t≤2，所以1t≤2；当t＝1时，f(x)＝1，显然满足题意；当t1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递增，所以y∈(t,1)，此时2tf(x1)＋f(x2)2，tf(x3)1，要使f(x1)＋f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需满足2t≥1，所以12≤t1.综上t∈[12，2]．4．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝log2x，x0，－x2－4x，x≤0，则此函数的“友好点对”有________对．3答案2解析函数f(x)＝log2x(x0)，－x2－4x(x≤0)的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对．5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lgx－2x的零点，则[x0]＝________.答案2解析∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝1x＋2x20，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－10，f(e)＝lne－2e0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|12|x－y|.若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|k恒成立，则k的最小值为________．答案14解析取y＝0，则|f(x)－f(0)|12|x－0|，即|f(x)|12x，取y＝1，则|f(x)－f(1)|12|x－1|，即|f(x)|12(1－x)．∴|f(x)|＋|f(x)|12x＋12－12x＝12，∴|f(x)|14.不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)14，0≤f(y)14，4∴|f(x)－f(y)|14－0＝14，要使|f(x)－f(y)|k恒成立，只需k≥14.∴k的最小值为14.7．设集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M为“垂直双点集”．给出下列四个集合：①M＝{(x，y)|y＝1x}；②M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}；③M＝{(x，y)|y＝log2x}；④M＝{(x，y)|y＝ex－2}．其中是“垂直双点集”的序号是________．答案②④解析对于①，y＝1x是以x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x1，y1)∈M，在另一支上也不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”．对于②，M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}，如图1所示，在曲线y＝sinx＋1上，对任意的点B(x1，y1)∈M，总存在点C(x2，y2)∈M，使得OB⊥OC，即x1x2＋y1y2＝0成立，故M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}是“垂直双点集”．对于③，M＝{(x，y)|y＝log2x}，如图2所示，在曲线y＝log2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”．对于④，M＝{(x，y)|y＝ex－2}，如图3所示，在曲线y＝ex－2上，对任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如取(0，－1)，(ln2,0)，满足“垂直双点集”的定义．8．如图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个5正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；④f(x)为偶函数．其中真命题为________(写出所有真命题的序号)．答案①②③解析如图所示．①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．9．对于函数f(x)，若存在区间M＝[a，b](其中ab)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f(x)＝(x－1)2；②f(x)＝|2x－1|；③f(x)＝cosπ2x；④f(x)＝ex.其中存在“稳定区间”的函数有________．(填出所有满足条件的函数序号)答案①②③解析据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间[a，b]内的定义域与值域相等．问题可转化为已知函数y＝f(x)的图象与直线y＝x是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断①②③均符合条件，而对于④易知由于f′(x)＝ex，故f(x)＝ex在原点处的切线方程即为y＝x，故不符合条件．综上可知①②③均为存在“稳定区间”的函数．610．(2014·山东)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．答案(210，＋∞)解析由已知得h(x)＋4－x22＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－4－x2.h(x)g(x)恒成立，即6x＋2b－4－x24－x2，3x＋b4－x2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝4－x2(如图所示)，可得b102，即b210，故答案为(210，＋∞)．11．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2x，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝(log2x)2，f4(x)＝log2(2x)．则“同形”函数是________．答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)＝log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故根据新定义得，f2(x)＝log2(x＋2)与f4(x)＝log2(2x)为“同形”函数．12．已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)．对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m”，则称S为理想集．对于下列命题：①当n＝10时，集合B＝{x∈A|x9}是理想集；②当n＝10时，集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是一个理想集；③当n＝1000时，集合S是理想集，那么集合T＝{2001－x|x∈S}也是理想集．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．7答案②③解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定．(1)当n＝10时，A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x9}＝{10,11,12，…，19,20}因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．因而B不具有性质P，不是理想集，故①为假命题．(2)对于C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}，因为可取m＝110，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.故C具有性质P，②为真命题；(3)当n＝1000时，则A＝{1,2,3，…，1999,2000}，因为T＝{2001－x|x∈S}，任取t＝2001－x0∈T，其中x0∈S，S⊆A，所以x0∈{1,2,3，…，2000}，从而1≤2001－x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A.由S具有性质P，就是存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m.对于上述正整数m，从集合T＝{2001－x|x∈S}中任取一对元素t1＝2001－x1，t2＝2001－x2，其中x1，x2∈S，则有|t1－t2|＝|x1－x2|≠m，所以集合T＝{2001－x|x∈S}具有性质P，③为真命题．故填②③.