2016高考数学大一轮复习142矩阵与变换试题理苏教版

1第2讲矩阵与变换1．正如矩阵A＝1121，向量β＝12.求向量α，使得A2α＝β.解∵A2＝11211121＝3243设α＝xy，由A2α＝β，得3243xy＝12∴3x＋2y＝1，4x＋3y＝2，解得x＝－1，y＝2.∴α＝－12.2．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．解设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)则有x′0y′0＝2001x0y0，即x′0＝2x0y′0＝y0∴x0＝x′02，y0＝y′0.又∵点P在椭圆上，故4x20＋y20＝1，从而x′20＋y′20＝1.∴曲线F的方程是x2＋y2＝1.3．已知矩阵M＝1ba1，N＝c02d，且MN＝2－200.(1)求实数a、b、c、d的值；(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解(1)由题设得：c＋0＝2，2＋ad＝0，bc＋0＝－2，2b＋d＝0.解得a＝－1，b＝－1，c＝2，d＝2.(2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y＝3x上的两点(0,0)，(1,3)，由1－1－1100＝00，1－1－1113＝－22，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.4．若点A(2,2)在矩阵M＝cosαsinα－sinαcosα对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求2矩阵M的逆矩阵．解由题意，知M22＝－22，即2cosα－2sinα2sinα＋2cosα＝－22，∴cosα－sinα＝－1，sinα＋cosα＝1，解得cosα＝0，sinα＝1.∴M＝01－10.由M－1M＝1001，解得M－1＝0－110.5．已知二阶矩阵A＝abcd，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝32，求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即abcd1－1＝－1×1－1，得a－b＝－1，c－d＝1.同理可得3a＋2b＝12，3c＋2d＝8.解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝2321.6．已知矩阵M＝3－1－13，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M的特征多项式f(λ)＝λ－311λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为xy，当λ1＝2时，由Mxy＝2xy，可得－x＋y＝0，x－y＝0.可令x＝1，得y＝1，∴α1＝11是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由Mxy＝4xy，可得x＋y＝0，x＋y＝0，取x＝1，得y＝－1，3∴α2＝1－1是M的属于λ2＝4的特征向量．7．求曲线C：xy＝1在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到点Q(x，y)由11－11x0y0＝xy，得x0＋y0＝x，－x0＋y0＝y.解得x0＝x－y2，y0＝x＋y2.因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以x－y2×x＋y2＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.8．已知矩阵A＝1002，B＝0－110，求(AB)－1.解AB＝10020－110＝0－120.设(AB)－1＝abcd，则由(AB)·(AB)－1＝1001，得0－120abcd＝1001，即－c－d2a2b＝1001，所以－c＝1，－d＝0，2a＝0，2b＝1，解得a＝0，b＝12，c＝－1，d＝0.故(AB)－1＝012－10.9．设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；4(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a、b的值．解(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝x1y1x2y2，则MM－1＝1001.又M＝2003.∴2003x1y1x2y2＝1001.∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝120013.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则a00bxy＝x′y′，即ax＝x′，by＝y′，又点P′(x′，y′)在曲线C′上，∴x′24＋y′2＝1.则a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.又a0，b0，∴a＝2，b＝1.10．已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果．解(1)关于x轴的反射变换矩阵为M1＝100－1，逆时针旋转90°的变换矩阵为M2＝cos90°－sin90°sin90°cos90°＝0－110故M＝M2M1＝0－110100－1＝0110.5(2)A′：011000＝00，即A′(0，0)．B′：011030＝03，即B′(0，3)．C′：011022＝22，即C′(2，2)．D′：011012＝21，即D′(2，1)．11．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．解(1)设M＝abcd，则abcd11＝811＝88，故a＋b＝8，c＋d＝8.因abcd－12＝－24，故－a＋2b＝－2，－c＋2d＝4.联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝6244.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝xy，则Me2＝6x＋2y4x＋4y＝2xy，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则6244xy＝x′y′，即x＝14x′－18y′，y＝－14x′＋38y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.12．已知矩阵A＝1a－1b，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝21.6(1)求矩阵A；(2)若向量β＝74，计算A5β的值．解(1)A＝12－14.(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝21，当λ2＝3时，得α2＝11.由β＝mα1＋nα2，得2m＋n＝7，m＋n＝4，解得m＝3，n＝1.∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×2521＋3511＝435339.13．设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)①若a＝2，b＝3，求M的逆矩阵M－1；②若曲线C：x2＋y2＝1，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a，b的值．解①设M－1＝x1y1x2y2，则MM－1＝1001又M＝2003，∴2003x1y1x2y2＝1001.∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1.即x＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13.∴M－1＝120013.②设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P′(x′，y′)，则a00bxy＝x′y′，∴ax＝x′by＝y′，又点P′(x′，y′)在C′上，所以x′24＋y′2＝1.7即a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程．又C的方程为x2＋y2＝1，∴a2＝4，b2＝1.又a0，b0，所以a＝2，b＝1.