2017年高考数学总动员2-9导数的概念及运算

2—9.导数的概念及运算知识点一导数的概念及运算1.导数的概念及几何意义(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2121()()fxfxxx(2)函数f(x)在x＝x0处的导数①定义：称函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim0xΔyΔx＝为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).斜率(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.2.导数的计算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝1axcosx－sinxaxlna(a0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝ex1lnxa1x(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝；③f（x）g（x）′＝(g(x)≠0).f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)2()()()()()fxgxfxgxgx►在某一点处导数值的一个易错点：f′(x0)是一个常数.(1)[求f′(x0)时，应先求导再代入求值]已知f(x)＝x＋lnx，则f′(1)＝________.解析f′(x)＝1＋1x，f′(1)＝1＋1＝2.答案2(2)[在有关计算时，f′(x0)作为常数]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(2)＝________.解析f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2得f′(2)＝12＋2f′(2)，解得f′(2)＝－12.答案－12(3)[f′(x0)的几何意义的三个应用：求切线方程，求切点坐标，求参数的值(或范围)]若曲线y＝x4的一条切线与直线x＋4y－8＝0垂直，则切点坐标为________.解析切线的斜率为4，y′＝4x3，令4x3＝4，解得x＝1，代入y＝x4得y＝1，即切点坐标为(1，1).答案(1，1)(4)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________.解析y′＝3x2＋a，可得3＋a＝k，3＝k＋1，3＝1＋a＋b，解得k＝2，a＝－1，b＝3，则2a＋b＝1.答案1►导数运算中的两个易错点：导数除法公式；复合函数求导.(5)[利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆]已知函数f(x)＝lnxx2，则f′(x)＝________.解析f′(x)＝（lnx）′·x2－（x2）′·lnxx4＝x2·1x－2xlnxx4＝1－2lnxx3.答案1－2lnxx3(6)[正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导]已知函数y＝sin(x2＋2x)，则y′＝________.解析设u＝x2＋2x，则y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·(x2＋2x)′＝(2x＋2)cos(x2＋2x).答案2(x＋1)cos(x2＋2x)知识点二定积分与微积分基本定理1.定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式()11nnbafxniiif(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝________________.lim1nbannif(ξi)(2)在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.2.定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分).(2)一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的和(图乙中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；(3)abf(x)dx＝_________________(其中acb).abf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝___________.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)►定积分的几何意义：即为曲边梯形的面积，应注意，面积非负，而定积分的结果可以为负.(7)由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________.解析S＝S1＋S2＝－20(2－x2)dx＋01(2－x2－x)dx＝2x－x330－2＋2x－x33－x2210＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76答案423＋76►定积分计算的两个易混点：含多个参数；含绝对值号.(8)[若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量]定积分01(x2＋2t)dt的值为________.解析被积变量为t，则原式＝t2|10＝1－0＝1.答案1(9)[被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分]－11e|x|dx＝________.解析－11e|x|dx＝－10e－xdx＋01exdx＝－e－x|0－1＋e|10＝2e－2.答案2e－2导数运算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.(2)方法：①连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导.②三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.③复杂分式：先化为整式函数或较为简单分式函数，再求导.④根式形式：先化为分数指数幂的形式再求导.⑤分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.⑥复合函数：由外向内，层层求导，分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量，每一步都要明确是对哪个变量求导，求导后要把中间变量转换成自变量的函数.【例1】求下列各函数的导数.(1)y＝ln(3x－2)；(2)y＝sinx21－2cos2x4；(3)y＝11－x＋11＋x.[解题指导](1)找出构成复合函数的基本函数→利用复合函数求导法则求导(2)，(3)化简函数解析式→利用求导公式求导解(1)设y＝lnu，u＝3x－2.则y′x＝y′u·u′x＝13x－2(3x－2)′＝33x－2.(2)y＝sinx2－cosx2＝－sinx2·cosx2＝－12cosx.∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.(3)y＝11－x＋11＋x＝21－x.∴y′＝21－x′＝2′（1－x）－2（1－x）′（1－x）2＝2（1－x）2.[点评](1)中函数的导数容易直接写成y′＝13x－2，忽略乘以3x－2的导数.(2)，(3)中函数若直接求导，计算繁琐，且容易出错，应先化简再求导.利用导数求切线方程的解题方略若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)点P(x0，y0)是切点时：第一步：求导数f′(x)；第二步：求切线斜率k＝f′(x0)；第三步：写切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.求参数或者参数范围(1)求参数的基本方法是：利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程或者参数满足的不等式.(2)注意：不要忽略曲线上横坐标的取值范围；切点既在切线上又在曲线上.【例2】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.[解题指导]解(1)∵y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53，(－1，1).故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.[点评](1)解决本题的关键是准确理解导数的几何意义并正确区分“在”与“过”的区别.(2)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.(3)切点既在切线上又在曲线上，即切点坐标满足直线方程和曲线方程.突破定积分的计算方法求定积分的常用方法(1)利用微积分基本定理关键是求出被积函数的原函数，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，可以将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出定积分相加.(2)利用定积分的几何意义即通过图形中面积的计算来求定积分的值.(3)利用奇偶性若函数f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx.若函数f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0.【例3】计算下列定积分(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈（1，2]，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D.不存在(2)1e1xdx＋－224－x2dx＝________.[解题指导](1)分段求定积分→积分值相加(2)分析定积分几何意义→分别求图形面积→面积相加解析(1)02f(x)dx＝