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2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上.)1.(5分)(2012台州模拟)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>22.(5分)函数的值域为()A.(0,3)B.[0,3]C.(﹣∞,3]D.[0,+∞)3.(5分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件4.(5分)如图所示程序框图中,如果输入三个实数a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的()A.c<xB.x<cC.c<bD.b<c5.(5分)若实数x,y满足则z=x﹣2y的最小值是()A.0B.﹣C.﹣2D.﹣36.(5分)在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体货箱的个数为()A.6B.7C.8D.97.(5分)(2007•四川)设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为()A.4a﹣5b=3B.5a﹣4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=148.(5分)从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个表面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种9.(5分)(2014•仁寿县模拟)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q.若点P是线段F1Q的中点,且QF1⊥QF2,则此双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±3x10.(5分)(2009•杭州二模)设函数f(x)=xsinx在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1,a2,…an…,则对任意正整数n必有()A.B.C.D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)若a为实数,,则a等于_________.12.(4分)(2007•安徽)若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于_________.13.(4分)在△ABC中,若,∠C=150°,BC=1,则AB的值为_________.14.(4分)(2014•闵行区三模)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为_________.15.(4分)设向量满足+2+3=,且(﹣2)⊥.若||=1,则||=_________.16.(4分)甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,则ξ的数学期望为_________.17.(4分)在长方形ABCD中,AB=3,BC=1,E为DC的三等分点(靠近C处),F为线段EC上一动点(包括端点),现将△AFD沿AF折起,使D点在平面内的摄影恰好落在边AB上,则当F运动时,二面角D﹣AF﹣B平面角余弦值的变化范围是_________.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)已知函数f(x)=cos2x+sinx•cosx﹣.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若函数f(x)的对称中心为(x,0),求x∈[0,2π)的所有x的和.19.(14分)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:b1=a1且bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N*),求数列{bn}的通项公式.20.(15分)如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<).(1)当a为何值时,MN的长最小;(2)当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值.21.(15分)已知M(2,3)、N(2,﹣3)两点在以F(2,0)为右焦点的椭圆C:=1(a>b>0)上,斜率为1的直线l与椭圆C交于点A,B(A,B在直线MN的两侧).(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求四边形ANBM面积的最大值.22.(14分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x2﹣x)(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值.参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上.)1.(5分)(2012•台州模拟)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2考点:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:先求出∁RB,从而根据集合A及A∪(∁RB)=R即可求出a的取值范围.解答:解:∵∁RB={x|x≤1,或x≥2},∴若A∪(∁RB)=R;∴a≥2.故选C.点评:考查描述法表示集合,以及集合的并集、补集运算,也可借助数轴求解.2.(5分)函数的值域为()A.(0,3)B.[0,3]C.(﹣∞,3]D.[0,+∞)考点:函数的值域.菁优网版权所有专题:计算题.分析:先求出x<﹣1时函数的值域;再求出x≥1时的值域,将两段的值域求并集,即得函数的值域.解答:解:当x<﹣1时,y=3x,此时当x≥1时,y=log2x,此时y≥0所以函数的值域为[0,+∞)故选D点评:求分段函数的值域,应该分段求,再将求出的各段的函数值域求并集.3.(5分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数奇偶性的判断.菁优网版权所有专题:压轴题.分析:本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.解答:解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B点评:本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断,属基本题.4.(5分)如图所示程序框图中,如果输入三个实数a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的()A.c<xB.x<cC.c<bD.b<c考点:程序框图.菁优网版权所有专题:图表型.分析:由于该程序的作用输出a、b、c中的最小数,因此在程序中要比较数与数的大小,第一个判断框是判断x与b的大小,故第二个判断框一定是判断最小值x与c的大小.解答:解:则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出,第一个判断框是判断x与b的大小,∴第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小,并将最大数赋给变量x,故第二个判断框应填入:x>c,故选:A.点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.5.(5分)若实数x,y满足则z=x﹣2y的最小值是()A.0B.﹣C.﹣2D.﹣3考点:简单线性规划.菁优网版权所有专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用.分析:由题意作出其平面区域,将z=x﹣2y化为y=x﹣z,﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距,由几何意义可得.解答:解:由题意作出其平面区域,将z=x﹣2y化为y=x﹣z,﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距,则当过(0,1)时有最小值,即z=0﹣2=﹣2,故选C.点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.6.(5分)在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体货箱的个数为()A.6B.7C.8D.9考点:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离.分析:由俯视图可得最底层小正方体的个数,即所有小正方体的摞数,从左视图和主视图可以看出每摞小正方体的个数,相加可得答案.解答:解:由俯视图可得所有小正方体共6摞,每摞小正方体的个数如下图所示:故这些正方体货箱的个数为8个,故选:C点评:本题考查的知识点是由三视图还原实物图,其中准确把握空间几何体的几何特征,建立良好的空间想像能力是解答本题的关键.7.(5分)(2007•四川)设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为()A.4a﹣5b=3B.5a﹣4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14考点:平面向量数量积坐标表示的应用.菁优网版权所有分析:构造三个向量,起点是原点,那么三个向量的坐标和点的坐标相同,根据投影的概念,列出等式,用坐标表示,移项整理得到结果.解答:解:∵与在方向上的投影相同,∴∴4a+5=8+5b,∴4a﹣5b=3故选:A.点评:投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q=0°时投影为|b|;当q=180°时投影为﹣|b|.8.(5分)从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个表面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种考点:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有专题:应用题;排列组合.分析:根据题意,使用间接法,首先分析从6个面中选取3个面的情况数目,再分析求出其中其中有2个面相邻,即8个角上3个相邻平面的情况数目,进而可得答案.解答:解:使用间接法,首先分析从6个面中选取3个面,共C63种不同的取法,而其中有2个面相邻,即8个角上3个相邻平面,选法有8种,则选法共有C63﹣8=12种.故选B.点评:本题考查组合的运用,但涉及立体几何的知识,要求学生有较强的空间想象能力.9.(5分)(2014•仁寿县模拟)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q.若点P是线段F1Q的中点,且QF1⊥QF2,则此双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±3x考点:双曲线的简单性质.菁优网版权所有专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:点P是F1Q的中点,O是F1F2的中点,利用三角形的中位线定理可得OP∥F2Q.已知QF1⊥QF2,可得F1Q⊥OP.进而得到直线F1P的方程,即可得到点P的坐标,利用余弦定理,即可求得双曲线的渐近线方程.解答:解:如图所示,∵点P是F1Q的中点,O是F1F2的中点,∴OP∥F2Q.∵QF1⊥QF2,∴F1Q⊥OP.∵OP的方程为y=﹣x,∴=,∴直线F1P的方程为y=(x+c).联立,解得,即P(﹣,).∴|PF1|=|PQ|=b,|PO|=a,|OF1|=|OF2|=|OQ|=c,|QF2|=2a,∵tan∠QOF2=,∴cos∠QOF2=,由余弦定理,得cos∠QOF2=1﹣=,∴e2﹣e﹣2=0,解得e=2,或e=﹣1(舍)∴b=a,∴双曲线的渐近线方程
本文标题:2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷(理科)
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