222反证法(学教案)

12.2.2反证法课前预习学案一、预习目标：使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.二、预习内容：提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上．问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.二、学习过程：2例1、已知直线,ab和平面，如果,ab，且||ab，求证||a。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为||ab,所以经过直线a,b确定一个平面。因为a，而a，所以与是两个不同的平面．因为b，且b，所以b.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点P，则Pb，即点P是直线a与b的公共点，这与||ab矛盾．所以||a.点评：用反证法的基本步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.例2、求证：2不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如mn（,mn互质，*,mZnN”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,mn，使得2mn，从而有2mn,因此，222mn，所以m为偶数．于是可设2mk(k是正整数），从而有2242kn，即222nk所以n也为偶数．这与m,n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确3的一种方法。变式训练2、已知0ba，求证：nnba（Nn且1n）例3、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.解析：直接证明)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.比较困难，我们应采用反证法证明：假设)3(,)2(,)1(fff都小于21，则.2)3()2(2)1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(qpqpqpffffff（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。变式训练3、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41反思总结：1.反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。43.应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；（4结论为“唯一”类命题；当堂检测：1.证明357，，不可能成等差数列．2．设233ba，求证.2ba证明：假设2ba，则有ba2，从而.2)1(68126,61282233323bbbbabbba因为22)1(62b，所以233ba，这与题设条件233ba矛盾，所以，原不等式2ba成立。课后练习与提高一、选择题1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)axbxca有有理根，那么abc，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）Ａ．假设abc，，都是偶数Ｂ．假设abc，，都不是偶数Ｃ．假设abc，，至多有一个是偶数Ｄ．假设abc，，至多有两个是偶数2．（1）已知332pq，求证2pq≤，用反证法证明时，可假设2pq≥，（2）已知abR，，1ab，求证方程20xaxb的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x的绝对值大于或等于1，即假设11x≥，以下结论正确的是（）Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角Ｄ．没有一个内角是钝角二、填空题4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．55.已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．三、解答题6．已知实数abcd，，，满足1abcd，1acbd，求证abcd，，，中至少有一个是负数．