222等差数列的通项公式教师资料配套用书

2．2.2等差数列的通项公式(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握用“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；(2)掌握等差数列的常用简单性质，并能应用于解题；(3)正确认识使用等差数列的多种表达形式，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项，能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；(4)能通过通项公式与图象认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图象与通项公式的关系解决某些问题．2.过程与方法(1)进行等差数列通项公式应用的实践操作，并在操作过程中通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；(2)通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；(3)通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观(1)通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；(2)培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识．●重点、难点重点：探索等差数列的通项公式，并且会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系．难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法，体会等差数列与一次函数之间的联系．在探索发现等差数列的通项公式时，教师要给学生思考的空间，先让学生自己经历对几个特殊的等差数列通项公式的观察、归纳、猜想过程，从感性认识逐步上升到理性思维，然后通过分组讨论、合作交流，迁移过渡到一般等差数列通项公式的探究发现，关键是体会等差数列定义的作用．由此逐步概括出观察、归纳、猜想以及叠加、迭代等数学基本思想方法．体会等差数列与一次函数之间的联系时，应充分利用二者图象之间的关系；等差数列的图象是相应一次函数的图象的一个子集，是相应一次函数定义域为正整数集时对应点的集合．(教师用书独具)●教学建议1．在回顾上节所学等差数列概念的基础上，首先引导学生自己去寻找上节所提出的三个实际问题(第23届到第28届奥运会举行年份问题、通话计费问题、储蓄问题)的通项公式，为后面求一般等差数列通项公式作铺垫，从而完成从研究具体的等差数列通项公式到一般等差数列通项公式的过渡．然后引导学生用“叠加法”探求一般的等差数列的通项公式，最后从函数的角度思考等差数列通项公式与一次函数的关系．2．在完成等差数列通项公式的教学后，结合具体数列，引导学生思考等差数列满足的性质，提高学生研究性学习的能力．3．为了让学生巩固本部分知识，可以三个方面设置例题与练习：等差数列的通项公式、等差数列性质的应用、等差数列的实际应用．对于这些例题及练习应引导学生自己解决，使学生更深刻领会本节知识．●教学流程回顾等差数列有关概念，引导学生寻找上节三个实际问题的通项公式，并总结它们的特点.⇒引导学生用“叠加法”探求一般的等差数列的通项公式.⇒引导学生结合图象思考等差数列通项公式与一次函数的关系.⇒结合具体数列，引导学生观察探寻等差数列满足的性质.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握等差数列通项公式的求法与应用.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握等差数列性质的应用方法，进一步熟悉等差数列的性质.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握在实际问题中如何应用等差数列的通项公式及性质.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第23页)课标解读1.掌握等差数列的通项公式．(重点)2.能运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点)3.了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的通项公式【问题导思】若等差数列{an}的首项为a，公差为d，则根据定义可得a2－a1＝____，即a2＝a1＋____；a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋______；a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋______；……因此归纳等差数列{an}的第n项an＝______.【提示】dd2d3da1＋(n－1)d从函数角度研究等差数列{an}【问题导思】1．由等差数列的通项公式，等差数列的任意项an与序号n有何函数关系？【提示】由通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故d≠0时，an是关于序号n的一次函数；d＝0时为常数函数．2．数列{an}满足an＝kn＋b(k，b为常数)，{an}一定是等差数列吗？【提示】一定．因为an－an－1＝(kn＋b)－[k(n－1)＋b]＝k，k为常数，所以{an}一定是等差数列．an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数的形式，其定义域为N*，其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率.等差数列的性质【问题导思】1．等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q为正整数)成立吗？试证明之．【提示】成立．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴an＋am＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d.∵m＋n＝p＋q，∴am＋an＝ap＋aq.2．等差数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…有何关系？【提示】设等差数列{an}公差为d，则a4＝a1＋3d，a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，…所以a4－a1＝3d，a7－a4＝3d，a10－a7＝3d，…，即a1，a4，a7，a10，…仍为等差数列．1．在等差数列{an}中，设m、n、p、q均为正整数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.2．若数列{an}是公差为d的等差数列，那么ak，ak＋m，ak＋2m，ak＋3m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md，即等间隔抽取的子数列也是等差数列.(对应学生用书第23页)等差数列的通项公式已知等差数列6,3,0，….(1)试求此数列的第100项；(2)－30和－40是不是这个数列的项？若是，是第几项？若不是说明理由．【思路探究】等差数列→首项、公差→通项公式→列方程→解方程，判断【自主解答】(1)设此数列为{an}，则首项a1＝6，公差d＝3－6＝－3，∴数列的通项公式为an＝6＋(n－1)×(－3)＝－3n＋9.∴a100＝－3×100＋9＝－291.(2)如果－30是这个数列中的项，则方程－30＝－3n＋9有正整数解．解这个方程得n＝13，因此－30是这个数列的第13项；如果－40是这个数列中的项，则方程－40＝－3n＋9有正整数解，解这个方程得n＝493，因此－40不是这个数列中的项．1．求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．2．数列的通项公式是数列的核心，是解决数列问题的关键，特别是求数列中的某一项，判断某一数值是否是数列中的项等，都需确定通项公式．3．当判断某一数值a是否是数列{an}中的项时，只需令an＝a，若解得n为正整数，则a是数列{an}中的项，否则不是数列{an}中的项．若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.【解析】法一∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，∴a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.法二∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4，故a75＝a60＋d＝20＋4＝24.法三由等差数列的性质，得d＝a60－a1560－15＝20－845＝415，a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.【答案】24等差数列性质的应用已知等差数列{an}的公差是正数，并且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式．【思路探究】先由等差数列的性质求a3，a7的值，再列方程组解a1，d.【自主解答】由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a3a7＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，又d＞0，解之得a3＝－6，a7＝2.再解方程组a1＋2d＝－6，a1＋6d＝2，解得a1＝－10，d＝2.则an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12，即an＝2n－12.1．本例中利用等差数列的性质转换已知条件，使解题过程简捷灵活．2．等差数列的常用性质如下：(1)若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq.当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap.(2)一个等差数列中的序号成等差数列、公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成的数列仍是等差数列，且公差为md.(3)d＝an－a1n－1＝an－amn－m(m，n∈N*，n＞m)．(4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*，n＞m)．若a2＋a8＝180，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7.【解】因为a2＋a8＝2a5＝180，所以a5＝90.又因为a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝5×90＝450.等差数列的实际应用某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元．从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路探究】认真阅读题目中所给条件，建立等差数列模型求解．【自主解答】由题意可设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获得的利润构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损．由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11.即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．1．将实际问题转化成等差数列模型是解决此类问题的关键．2．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数依次成直线递增或递减，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．(2013·黄冈高二检测)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．【解析】设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766，所以a5＝a1＋4d＝6766.【答案】6766升(对应学生用书第24页)等差数列的性质运用错误设数列{an}是等差数列，a2＝4，a4＝10，求a6.【错解】∵{an}是等差数列，∴a6＝a2＋a4，∴a6＝4＋10＝14.【错因分析】在等差数列中，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq，即必须是两项相加等于另两项相加．若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap，如a2＋a4＝2a3成立，但a2＋a4＝a6却不一定成立．【防范措施】注意对等差数列性质的理解与记忆，对性质：当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，am＋an＝ap＋aq，不能误认为“若m＝p＋q则am＝ap＋aq”．【正解】∵a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝10，两式相减得2d＝6，∴d＝3，a1＝1，∴a6＝a1＋5d＝1＋5×3＝16.1．基础知识：(1)等差数列的通项公式；(2)等差数列的性质．2．基本技能：(1)等差数列通项公式的求法；(2)等差数列通项公式的应用；(3)等差数列性质的应用；(4)等差数列的实际应用．3