22离散型随机变量的概率分布

2.2离散型随机变及其分布律说明(1):0,1,2,;kpk非负性1(2):1kkp完备性。(1,2,),,{},{},1,2,..kkkkXxkXXxPXxpkX设离散型随机变量所有可能取的值为取各个可能值的概率即事件的概率为称此为离散型随机变量的分布律2.2.1离散型随机变量的分布律定义离散型随机变量的分布律也可表示为nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21,,(),pXX设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯每组信号灯以的概率禁止汽车通过。以表示汽车首次停下时它的组数设各组信号灯的工作是相互独立的求已通过的信号灯的分布律。解,p设为每组信号灯禁止汽车通过的概率则有kpX43210ppp)1(pp2)1(pp3)1(4)1(p例2.1例2.2设一口袋中有5件产品，其中4件是正品，1件是次品。现从袋中连取两次，每次取一件。设X表示两次取出的次品数，试分以下情况求X的分布律。(1)取出后放回(2)取出后不放回。解(1)放回抽样：X的可能取值为0,1,2441600.645525P(X)14418(1)0.32555525PX111(2)0.045525PX故X的分布律为Xkp0120640.320.04.(2)不放回抽样：X的可能取值为0，143(0)0.654PX4114(1)0.45454PX故X的分布律为Xkp01060.4.2.2.2常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(0—1)分布或两点分布。1.两点分布(0—1)分布例2.3200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布。Xkp0120019020010两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布。说明2.二项分布(),()1,(0)()()(1(0,1,))kknknknPkPBCppnPApPApAkknkn在重贝努利试验中,若设则定事件恰好出现次的概率是理1101nnkknknknnXknpqCpqCpqpX即的分布律为称X服从参数为n,p的二项分布。记为~(,)XBnp。例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布。5)4.0(1450.60.4C22350.60.4C33250.60.4C4450.60.4C56.0Xkp012345例如一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1。5()(0.1)(0.9)kknkPXkC0,1,2,,5kX在同一时刻同时被使用的设备数(5,0.1)B服从的二项分布例如在事件A在每次试验中发生的的概率都是0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。（1）设5次重复独立试验中A发出信号的次数为X，则。33244155555(3)(3)(4)(5)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)0.163PXPXPXPXCCC(5,0.3)XB（2）设7次重复独立试验中A发出信号的次数为Y，则。(7,0.3)YB0716225777(3)1(0)(1)(2)1(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)0.353PYPYPYPYCCC2(01)、二项分布是分布的推广。(01)二项分布与分布之间的关系。二项分布1n两点分布1、,,1,,(1,2,,)0,inpiXini对于次独立重复伯努里试验每次试验成功的概率为设若第次试验成功若第次试验失败(01)它们都服从分布并且相互独立12,(,)nnpXXXX那末服从二项分布参数为。3.泊松分布0,1,2,,,0,1e{}!,2,,,)0~π(kXkkXPXk设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概泊松分率为其中是常数。则称服从参数为的记布为。在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的。泊松分布通常适用于描绘大量重复试验中稀有事件（即每次试验中出现的概率很小的事件。例如意外事故，非常见病，自然灾害等）出现的次数，都服从泊松分布。观察二项分布与泊松分布二项分布泊松分布)(nnp泊松分布是作为二项分布的近似分布，是由法国数学家泊松于1837年引入，是概率论中的重要分布之一。,01,0,1,2,nnnppn设lim(1)!kkknknnnnCppek定理（泊松Poisson定理）对于任意一个非负整数k，有设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算10000.00010.1所求概率为10001999100010.99990.00010.9999C0.10.1e0.1e10!10.0047!。解}2{XP{2}1{0}{1}PXPXPX~(1000,0.0001),XB例2.4有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为~(400,0.02).XB则的分布律为X400400{}(0.02)(0.98),kkkPXkC.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例2.5例2.6设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法台中人维护的表示事件“第20i,201数”的台台中同一时刻发生故障人维护的记“第以X)4,3,2,1(iAi以发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障)()(14321APAAAAP}.2{XP),01.0,20(~bX而np又,2.0故有22.0!)2.0(}2{kkkkXP.0175.0即有.0175.0)(4321AAAAP5.几何分布或,1,qpXkpk21pqppqk11(),1,(1,2,(1,))kppPXpkXkpp进行重复独立试验,若设每次试验的成功的概率为失败的概率为将试验进行到出现一次成功为止。以表示所需的试验次数,则服从以为参数的几何分布。其概率分布律为说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型。例2.7设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,求X的分布律。解1,2,3,X所取的可能值是。随机变量X的分布律为则X服从几何分布。,1,qpXkpk21pqppqk16.巴斯卡分布11,1,(,1,,,()()1)rrkrkppXrprPXkprCkrp进行重复独立试验,若设每次试验的成功的概率为失败的概率为将试验进行到出现次成功为止。以表示所需的试验次数,则服从以为参数的巴斯卡分布。其概率分布律为7.超几何分布设X随机变量表示取出的次品数，则X的可能取值为0,1,2,3,…,n()0,1,2,knkMNMnNCCPXkknC称这个随机变量服从超几何分布。大型产品的抽样检查：设在N件产品中有M(MN)件次品。从中随机地取n件，发现有k件次品的概率是多少若采用有放回的抽样，因次品率为:,MpN可以证明当是常数时~(,)XBnplim(1)knkkknkMNMnnNNCCCppC这是n重贝努利试验即当N很大时，超几何分布近似二项分布。MpN名称概率分布律两点分布Xkp0p11p等可能分布1{}1,PXkknn二项分布{}(1)(0,)kknknPXkCppkn泊松分布e{},0,1,2,,!kPXkkk几何分布1{}(1)(1,2,)kPXkppk巴斯卡分布11{}(1)(,1,)rrkrkPXkCppkrr超几何分布{}0,1,2,knkMNMnNCCPXkknC12(01),,,1,,(1,2,,)0,(01),,(,)niXXnpiXinXXinp二项分布是分布的推广对于次独立重复伯努里试验每次试验成功的概率为设若第次试验成功若第次试验失败它们都服从分布并且相互独立那末服从二项分布参数为。(01).二项分布与分布之间的关系,(),(){}(1)e,(0,1,,!2,,)kkknknpnnpPXkCppnpnpnknk以为参数的二项分布当时趋于以为参数的泊松分布即。.二项分布与泊松分布之间的关系.二项分布与超几何分布之间的关系:,MpN可以证明当是常数时~(,)XBnplim(1)knkkknkMNMnnNNCCCppC这是n重贝努利试验即当N很大时，超几何分布近似二项分布。MpN