2013高中数学选修2-2测试题一

1高中数学选修2-2综合测试题一金丙建20133一、选择题（共8题，每题5分）1.复数(2)zii在复平面内的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.定积分1101dxx的值为（）A．1B.ln2C.2122D.11ln2223.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A.24B.22C.20D.124.已知17,35,4abc则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cabC．cbaD．bca5.曲线332yxx上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A．3[,)3B.3(,)3C.(3,)D.[3,)6.已知数列{}na满足12a，23a，21||nnnaaa，则2009a＝（）A．1B.2C.3D.07.函数()lnfxxx的大致图像为（）8.ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N*），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）A．2B．1C．0D．3xyoAxyoBxyoCxyoD1111ABCDA1B1C1D12二、填空题（共6题，30分）9.已知2()ln(22)(0)fxxaxaa，若()fx在[1)，上是增函数，则a的取值范围是．10.若复数1111iizii，则复数z=___11．质点运动的速度2(183)m/svtt，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是．12.若abR，，且22(i)(1i)32iab，则ab的值等于．13.为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.14.若在区间[-1,1]上，函数3()10fxxax恒成立，则a的取值范围是_________________三、解答题（共6题，80分）15.已知复数22(815)(918)zmmmmi在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，（1）z为实数？z为纯虚数？（2）A位于第三象限？16.观察给出的下列各式：（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101；（2）tan5tan15tan15tan70tan70tan51．由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．13题317．设2(0)()cos1(0)xxfxxx≤，，试求π21()fxdx．18.如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC＝10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？19.已知函数）（）（023acxbxaxxf是定义在R上的奇函数，且1x时，函数取极值1．（1）求cba，，的值；（2）若对任意的1121，，xx，均有12fxfxs（）（）成立，求s的最小值；ABCM420．已知等腰梯形OABC的顶点AB，在复平面上对应的复数分别为12i、26i，且O是坐标原点，OABC∥．求顶点C所对应的复数z．21.已知各项为正的数列{}na的首项为12sina（为锐角），22142nnaa，数列{}nb满足12nnnba.（1）求证：当x(0,)2时，sinxx（2）求na，并证明：若4，则12naaa（3）是否存在最大正整数m，使得sinnbm对任意正整数n恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.5高中数学选修2-2测试题一答案一、选择题（每题5分）题号12345678答案BBDCDAAC9.12a≤；10.-1；11。108m.；12：213.18；14.332[0,]2三、解答题15.解：（1）当2918mm＝0即m＝3或m＝6时，z为实数；…………………………3分当28150mm，29180mm即m＝5时，z为纯虚数.…………………………6分（2）当2281509180mmmm即3536mm即3m5时，对应点在第三象限.……………12分16.解：可以观察到：10206090，5157090，故可以猜想此推广式为：若π2，且，，都不等于ππ()2kkZ，则有tantantantantantan1．证明如下：由π2，得π2，所以πtan()tancot2，又因为tantantan()1tantan，所以tantantan()(1tantan)cot(1tantan)，所以tantantantantantantantantan(tantan)tantantancot(1tantan)1．17.解：ππ022110()()()fxdxfxdxfxdxπ02210(cos1)xdxxdxπ20201(sin)3xxx1π4π13232．618.解：(1)依题，铁路AM上的运费为2（50－x），公路MC上的运费为24100x，则由A到C的总运费为22(50)4100(050)yxxx……………………………6分（2）242(050)100xyxx，令0y，解得110,3x2103x（舍）……9分当1003x时，0y，y；当10503x时，0y，y故当103x时，y取得最小值.……………………………12分即当在距离点B为103时的点M处修筑公路至C时总运费最省.……………………13分19.解：(1)函数）（）（023acxbxaxxf是定义在R上的奇函数,），（）（xfxf即02bx对于Rx恒成立，0b.cxaxxf3）（,caxxf23）（1x时，函数取极值1.∴103caca，,解得:2321ca，．故1322，=0,abc……………………………………………6分(2)xxxf23213）（,)1)(1(232323)(2xxxxf,11，x时0）（xf,1,1)(xxf在上是减函数,……………8分故1,1)(xxf在上最小值为(1)f＝－1，最大值为(1)1f,因此当1121，，xx时,12min()()2Maxfxfxfxfx（）（）．…12分12min()()Maxfxfxsfxfxs（）（），故s的最小值为2………14分720.解：设i()zxyxyR，．由OABC∥，OCAB，得OABCkk，CBAzzz，即2222261234yxxy，，OABC，3x，4y舍去．5z．21.解：（1）令()sin(0)2fxxxx，则()cos10(0)2fxxx故()fx，∴()(0)0fxf，即sinxx…………………………3分（2）由22142nnaa得2124(0)nnnaaa又12sina，∴2212422cos2sin2aa，2322422cos2sin24aa，猜想：12sin2nna………………………………5分下面用数学归纳法证明：①n＝1时，12sina，成立，②假设n＝k时命题成立，即12sin2kka，则n＝k＋1时，221112424(2sin)22cos22kkkkaa＝2sin2k，即n＝k＋1时命题成立.由①②知12sin2nna对nN*成立.…………………………8分由（1）知122sin22nnna，nN*故121212[1()]124[1()]41222212nnnnaaa因此4时，12naaa………………………………11分（3）12122sin2nnnnnba，故112sin2sin1221sin2sincoscos2222nnnnnnnnbb，{}nb为递增数列，因此要使sinnbm对任意正整数n恒成立，只需1sinbm成立，而18sinb，8因此8m，故存在最大自然数m＝8满足条件。…………………………14分另证：由于1sinbm，可得8m，因此可猜想m的最大值8m，下面证明8sinnb，即证12sin2sin2nn恒成立.①n＝1时，12sin2sinb，成立，②假设n＝k时命题成立，即12sin2sin2kk，则n＝k＋1时，112sincossin2sin2222sin22sin22222coscoscos222kkkkkkkkkkkksin，即n＝k＋1时命题成立.由①②知12sin2sin2nn对nN*成立.即8sinnb对nN*成立，由8m知正整数m的最大值为8………………………14分