2013高考数学一轮复习试题 3-2(1) 理

用心爱心专心-1-2013高考数学一轮复习试题3-2(1)理A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·深圳中学月考)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()．A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案D2．(2012·贵阳模拟)函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()．A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－12解析由y＝4x2＋1x得y′＝8x－1x2，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增．答案B3．(2012·云南师大附中月考)如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()．解析由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A满足．答案A4．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()．用心爱心专心-2-A．eB．－eC.1eD．－1e解析设(x0，lnx0)是曲线y＝lnx与直线y＝kx的切点，由y′＝1x知y′|x＝x0＝1x0由已知条件：lnx0x0＝1x0，解得x0＝e，k＝1e.答案C5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()．A．a≤0B．a1C．a0D．a≤1解析f′(x)＝3ax2－1若a＝0，则f′(x)＝－10，f(x)在R上为减函数若a≠0，由已知条件a0，Δ≤0，即a0，12a≤0.解得a0.综上可知a≤0.答案A二、填空题(每小题4分，共12分)6．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．解析f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，由f′(x)＞0得x＞2.答案(2，＋∞)7．(2012·银川质检)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．解析设切点坐标为(x0，y0)又y′＝1x＋a，由已知条件y0＝x0＋1y0＝x0＋a1x0＋a＝1解得a＝2.答案28．(2012·青岛二中月考)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，∴由题意知5ax4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－15x5在(0，＋∞)上有解．用心爱心专心-3-∵x∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案(－∞，0)三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·临川一中模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当x－1时，1－1x＋1≤ln(x＋1)≤x.(1)解函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．f′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1f′(x)与f(x)随x变化情况如下：x(－1,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－f(x)0因此f(x)的递增区间为(－1,0)，递减区间为(0，＋∞)．(2)证明由(1)知f(x)≤f(0)．即ln(x＋1)≤x设h(x)＝ln(x＋1)＋1x＋1－1h′(x)＝1x＋1－1x＋2＝xx＋2可判断出h(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增．因此h(x)≥h(0)即ln(x＋1)≥1－1x＋1.所以当x－1时1－1x＋1≤ln(x＋1)≤x.10．(12分)设函数f(x)＝12x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，若x＜0，则1－ex＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，则1－ex＜0，所以f′(x)＜0；用心爱心专心-4-∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．∴[f(x)]min＝f(2)＝2－e2，∴m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·荆州中学月考)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()．A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)解析不等式(x－1)f′(x)≥0等价于x－1≥0，fx或x－1≤0，fx可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．答案C2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0，则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1.答案B二、填空题(每小题4分，共8分)3．函数f(x)＝xax－x2(a0)的单调递减区间是________．解析由ax－x2≥0(a0)解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝3ax－4x22ax－x2＝－2xx－3a4ax－x2，由f′(x)0解得x≥3a4，因此f(x)的单调递减区间是3a4，a.答案3a4，a4．(2012·武汉模拟)已知函数f(x)＝x2(x－a)．若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________；若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________．用心爱心专心-5-解析由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－2a3.若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a3≠0，22a33，解得：3a92.答案(－∞，3]∪92，＋∞，3，92三、解答题(共22分)5．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．解(1)f′(x)＝3x2－a由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x23因此a≥3函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．6．(★)(12分)(2012·浙江五校联考)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2fx＋m2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解(1)根据题意知，f′(x)＝a－xx(x＞0)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)∵f′(2)＝－a2＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3.∴g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.用心爱心专心-6-∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴gt＜0，g′＞0.由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴g＜0，g＜0，g＞0，∴－373＜m＜－9.【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；第二步：求函数fx的导数fx；第三步：求方程fx＝0的根；第四步：利用fx＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步：由fx在小开区间内的正、负值判断fx在小开区间内的单调性；第六步：明确规范表述结论.