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矩阵论复习题1.设RV是正实数集,对于任意的Vyx,,定义x与y的和为yxyx对于任意的数Rk,定义k与x的数乘为kxxk问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,Ryx,),(21xxx,),(21yyy定义x与y的和为),(112211yxyxyxyx对于任意的数Rk,定义k与x的数乘为)2)1(,(2121xkkkxkxxk问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R,是否构成线性空间,并说明理由.3.设},022|),,{(321321RxxxxxxxSi,试证明S是3R的子空间,并求S的一组基和Sdim.4.设)(RPn表示次数不超过n的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({RPxffxfSn证明S是)(RPn的子空间,并写出S的一组基和计算Sdim.5.设33:RRT是线性变换,321323213212,,2,,xxxxxxxxxxxT求T的零空间)(TN和像空间)(TR的基和维数.6.设T是3R上的线性变换,对于基},,{kji有kjkjiT)(ikjT)(kjikT532)(1)确定T在基},,{kji下的矩阵;2)求T的像空间的基与维数.7.在22R中求由基(I)12101A20122A32112A41312A到基(II)11210B21111B31211B41101B的过渡矩阵.并求矩阵2102A在基(I)下的坐标.8.在)(2RP中,对任意的)()(),(2RPxgxf定义内积为10)()())(),((dxxgxfxgxf若取)(2RP的一组基},,1{2xx,试用SchmidtGram正交化方法,求)(2RP的一组标准正交基.9.在2[]Px中,内积定义为:120,()(),,[].fgfxgxdxfgPx1)如果612xxxf,计算f;2)证明:任一线性多项式bxaxg,都正交于612xxxf.10.已知122112012422A,求A的最大秩分解。11.求矩阵10002iAi的奇异值分解.12.设mnAC,1)证明:()()HrankAArankA;2)证明:HAA是半正定矩阵或正定矩阵。13.设A是nnC上的n阶方阵,x是nC上的n维列向量,证明:22||||||||||||FAxAx.14.证明n阶实方阵A可表示为一实对称矩阵与一反实对称矩阵之和.15.已知73487612iA,845x,求111||||,||||,||||,||||,||||,||||xxAxAxAA16.设a||||是nnC的一种矩阵范数,B和D是n阶可逆矩阵,且,1||||1aB1||||1aD,证明对任意的nnCA,abBADA||||||||也是nnC的一种矩阵范数.17.已知a||||是nnC上的矩阵范数,0y是nC中的某非零列向量,nxC设0||||||||Haxxy证明它是nC上的向量范数,并且与矩阵范数a||||相容。18.设nnCA,k为正整数,证明:kkAA.19.设nnCA,且是Hermite矩阵,证明:2AA.20.设函数矩阵ttttAcossinsincos,求)(tAdtd,))((dettAdtd和))(det(tAdtd.21.证明1))()()())((111tAtAdtdtAtAdtd2)AeAeedtdAtAtAt22.已知2.05.05.02.0A,判断矩阵级数kAAAA32是否收敛,若收敛求其和.23.已知111111012A,判断矩阵级数03kkkkA是否收敛.24.求矩阵210420210A的最小多项式.25.已知3000130001300001A,求Asin和)sin(At.26.已知00aaA,aaaaBcossinsincos其中Ra且0a,证明:BeA.27.已知33iiA,1)证明A是Hermite矩阵;2)求方阵函数Acos.28.设A为n阶方阵,求证()det()AtrAee特别地当A为反对称矩阵时det()1Ae.29.设163053064A,求方阵函数Ae和cosAt.30.已知111111012A,求50303AA.31.求微分方程组32113xxxdtdx32125xxxdtdx32133xxxdtdx的通解及满足初始条件123(0)1(0)1(0)0xxx的特解.32.求微分方程组3213321232113333xxxdtdxxxxdtdxxxxdtdx满足初始条件10,00,10321xxx的特解.33.已知(1)112001110001A,(2)011iiiA,求A的广义逆矩阵A.34.设BCA是A的最大秩分解,证明:BCA.35.证明:线性方程组bAx(其中nmCAmCb)有解的充分必要条件是bbAA.
本文标题:2015矩阵论复习题-XAUT
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