2014-2015学年高中数学1.1平面直角坐标系同步检测试题新人教A版选修4-4

1【金版学案】2014-2015学年高中数学1.1平面直角坐标系同步检测试题新人教A版选修4-4一层练习1．▱ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则D的坐标是()A．(9，－1)B．(－3,1)C．(1,3)D．(2,2)答案：C2．到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是()A．椭圆B．抛物线C．圆D．直线或圆答案：D3．把函数y＝sin2x的图象作怎样的变换能得到y＝sin2x＋π3的图象()A．向左平移π6个单位B．向右平移π6个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位答案：A4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()2A.x＝2x′，y＝13y′B.x′＝2x，y′＝13yC.x＝2x′，y＝3y′D.x′＝2x，y′＝3y答案：B5．到直线x－y＝0和直线2x＋y＝0的距离相等的动点的轨迹方程为____________．答案：x2＋6xy－y2＝0二层练习6．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线答案：A7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝5x，y′＝3y后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，则曲线C的方程为()A．25x2＋9y2＝0B．9x2＋25y2＝0C．25x＋9y＝0D.x225＋y29＝0答案：A8．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，求点A的轨迹方程为________．3答案：x29＋y25＝1(x≠±3)9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为x－422－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②比较①②，可得x′－2＝x－42，y′＝3y，即x′＝x2，y′＝3y.所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．10．在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝13x，y′＝12y后的图形形状．(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.解析：由伸缩变换x′＝13x，y′＝12y，4可知x＝3x′，y＝2y′.(1)将x＝3x′，y＝2y′代入y2＝2x，可得4y′2＝6x′，即y′2＝32x′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线．(2)将x＝3x′，y＝2y′代入x2＋y2＝1，得(3x′)2＋(2y′)2＝1，即x′219＋y′214＝1，即伸缩变换之后的图形为焦点在y轴上的椭圆．三层练习11．已知点A(6,0)，B为圆x2＋y2＝4上任意一点，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________________．答案：(x－3)2＋y2＝112．要将椭圆x24＋y2＝1上的点只进行横坐标的伸缩变换，变为圆x2＋y2＝1，则变换公式为__________________．答案：x′＝12x，y′＝y13．在平面直角坐标系xOy上，直线l：x＝－2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程．解析：如图所示，连接OM，则|PM|＝|OM|.5∵∠MPO＝∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M(x，y)，①当MP⊥l时，|MP|＝|x＋2|，|OM|＝x2＋y2，|x＋2|＝x2＋y2，化简得y2＝4x＋4(x≥－1)．②当M在x的负半轴上时，y＝0(x＜－1)，综上所述，点M的轨迹E的方程为y2＝4x＋4(x≥－1)或y＝0(x＜－1)．14．(2013·陕西卷·节选)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．求动点M的轨迹C的方程．解析：点M(x，y)到直线x＝4的距离，是到点N(1,0)的距离的2倍，则|x－4|＝2x－2＋y2⇒x24＋y23＝1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为x24＋y23＝1.15．(2013·陕西卷·节选)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．解析：A(4,0)，设圆C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图象知ME＝MN2，CA2＝CM2＝ME2＋EC2⇒(x－4)2＋y2＝42＋x2⇒y2＝8x.故轨迹C的方程是y2＝8x.16．(2013·新课标全国Ⅰ卷·节选)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1，圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.6设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．17．已知函数y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1(x∈R)．(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1＝12×1＋cos2x2＋34sin2x＋1＝1212cos2x＋32sin2x＋54＝12sin2x＋π6＋54.当y取最大值74时，需且只需2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π6，k∈Z.∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为xx＝kπ＋π6，k∈Z.(2)将函数y＝sinx的图象依次进行如下变换：①把函数y＝sinx的图象向左平移π6个单位，得到函数y＝sinx＋π6的图象；②把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π6的图象；③把得到的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，得到函数y＝12sin2x＋π6的图象；7④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数y＝12sin2x＋π6＋54的图象；综合得函数y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1的图象．18．在同一直角坐标系中，曲线C：x216＋y29＝1，经过伸缩变换x′＝λx，λ＞0，y′＝uy，u＞0后变成圆，求λ和u应满足的条件．解析：由x′＝λx，y′＝uy得x＝x′λ，y＝y′u代入曲线C的方程得x′216λ2＋y′29u2＝1.由题意得：16λ2＝9u2，∴4λ＝3u.1．建立直角坐标系的规律技巧．坐标系的建立，直接影响到方程的繁简，因此，在建立直角坐标系的过程中，要尽量研究所给图形的对称性，若是轴对称图形，一般选取对称轴为坐标轴；若是中心对称图形，一般以对称中心为原点；若存在两条互相垂直的直线，一般以这两条直线为坐标轴．总之，在建立直角坐标系时，原则上是使尽可能多的点在坐标轴上，有对称的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称．在解题时，注意不断归纳总结，积累经验方法，针对题设条件建立恰当的坐标系，使运算简便，求得的方程形式简单．2．在求动点P的轨迹方程时，用几何性质求解比用代数方法简单．3．伸缩变换对图形的影响．8(1)由伸缩变换公式x′＝λx，λ＞0，y′＝μy，μ＞0知，当0＜λ＜1时，原图形以原点为中心，沿x轴向两侧拉伸到原来的1λ倍；当λ1时，沿x轴向两侧缩短到原来的1λ倍，其中纵坐标不变．(2)在伸缩变换过程中，图象与y轴的交点是不动点．(3)在伸缩变换过程中，每个点随着坐标的伸缩而移动，整个图形就发生相应的伸缩变换．(4)因为伸缩变换把直线变成直线，所以伸缩变换把多边形变成边数一致的多边形：伸缩变换不能实现曲线段与直线段的互变．换句话说，它不能把圆变成正方形.