2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升3-1-1倾斜角与斜率

一、选择题1．如右图所示，直线l的倾斜角是()A．0°B．90°C．∠CABD．∠OAB[答案]C2．斜率不存在的直线一定是()A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线[答案]B3．直线l的倾斜角α＝135°，则其斜率k等于()A.22B.32C．－1D．1[答案]C[解析]k＝tanα＝tan135°＝－1.4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于()A．－1B．－5C．1D．5[答案]A[解析]直线的倾斜角为45°，则其斜率为k＝tan45°＝1.由斜率公式，得－3－y2－4＝1，解得y＝－1.5．①直线l的倾斜角是α，则l的斜率为tanα；②直线l的斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行的直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率．上述命题中，正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]由倾斜角和斜率的定义知，当倾斜角α＝90°时，则l的斜率不存在，故①是错误的；因为tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1，所以当k＝－1时，α＝135°，故②是错误的；与y轴平行的直线倾斜角为90°，故③也是错误的；因而只有④是正确的，即正确的个数为1个，故选B.6．直线l的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A．1B.3C.233D．－3[答案]B[解析]∵tanα＝33，0°≤α180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝3.故选B.7．如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k2[答案]D[解析]可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α190°α2α30°，所以k10k3k2.8．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥12B．k≤－2C．k≥12或k≤－2D．－2≤k≤12[答案]D[解析]过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围．由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝12，∴－2≤k≤12.[点评]确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点P和一个倾斜角α，二者缺一不可．本题过点P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是数形结合的技巧．二、填空题9．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m－1)所在直线的倾斜角为45°，则m的值等于________．[答案]2[解析]由题意知k＝tan45°＝1.由斜率公式得2m－1－21＋m－m＝1，解得m＝2.10．三点A(0,2)，B(2,5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b满足的条件是________．[答案]b≠132[解析]由题意得kAB≠kAC，则5－22－0≠b－23－0，整理得b≠132.11．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．[答案](－5,0)[解析]设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝8－3－x，kPB＝142－x，于是8－3－x＝2×142－x，解得x＝－5.12．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b＝________.[答案]13[解析]由于点A，B，C共线，则kAB＝kAC，所以0－3a－3＝b－30－3.所以ab＝3a＋3b.即1a＋1b＝13.三、解答题13．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上．[证明]由斜率公式，得kAB＝11－35－1＝2，kAC＝－5－3－3－1＝2，∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A，∴A，B，C这三点在同一条直线上．14．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．(1)A(0，－1)，B(2,0)；(2)P(5，－4)，Q(2,3)；(3)M(3，－4)，N(3，－2)．[解析](1)kAB＝－1－00－2＝12，∵kAB0，∴直线AB的倾斜角是锐角．(2)kPQ＝－4－35－2＝－73，∵kPQ0，∴直线PQ的倾斜角是钝角．(3)∵xM＝xN＝3，∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角．15．(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12?(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°？[分析]利用斜率公式列方程求解．[解析](1)由题意得kAB＝3m－61－－m＝12，解得m＝－2.故当且仅当m＝－2时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12.(2)由题意得kAB＝tan60°＝3＝2m－1－2－m－m，解得m＝－31－34.故当且仅当m＝－31－34时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°.16．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[分析]结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.[解析]如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝4－0－3－1＝－1，直线PB的斜率kPB＝2－03－1＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°.[点评]这里要注意斜率k的范围不是－1≤k≤1，因为直线l经过的区域包含与x轴垂直的直线．本题一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的倾斜角和斜率的变化规律，通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA与kPB是两个关键的数据．