2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练小题分类补偿练平面向量与解三角形]

补偿练6平面向量与解三角形(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量OA→⊥AB→，则实数k＝()．A．4B．3C．2D．1解析因为A(1,3)，B(－2，k)，所以AB→＝(－3，k－3)，因为OA→⊥AB→，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.答案A2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为()．A．－2B．－13C．－1D．－23解析由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案C3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝()．A.OH→B.OG→C.EO→D.FO→解析以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则OP→＝(2，－2)，OQ→＝(1,4)，所以OP→＋OQ→＝(3,2)，而恰好FO→＝(3,2)，故OP→＋OQ→＝FO→.答案D4．在平面四边形ABCD中，满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则四边形ABCD是()．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析因为AB→＋CD→＝0，所以AB→＝－CD→＝DC→，所以四边形ABCD是平行四边形，又(AB→－AD→)·AC→＝DB→·AC→＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案C5．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()．A.3B．3C.7D．7解析S＝12×AB·ACsin60°＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.答案A6．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是()．A．B＞30°B．A＝2BC．c＜bD．S≤b2解析由三角形的面积公式知S＝12absinC＝122b·bsinC＝b2sinC，因为0＜sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2.答案D7．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是()．A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞)D．[－3,3)解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，m1≠2m－33，得m≠－3.答案B8．在边长为1的正三角形ABC中，BD→＝13BA→，E是CA的中点，则CD→·BE→等于()．A．－12B．－23C．－13D．－16解析建立如图所示的直角坐标系，则A－12，0，B12，0，C0，32，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，∵BD→＝13BA→，∴x1－12，0＝13(－1,0)，∴x1＝16.∵E是CA的中点，∴x2＝－14，y2＝34.∴CD→·BE→＝16，－32·－34，34＝16×－34＋－32×34＝－12.答案A9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝14(b2＋c2－a2)，则角B等于()．A．90°B．60°C．45°D．30°解析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，因为sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S＝12bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得12bcsinA＝14·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.答案C10．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()．A.34B．43C．－43D．－34解析由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×12absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝absinC－2ab2ab＝sinC2－1，所以cosC＋1＝sinC2，即2cos2C2＝sinC2cosC2，所以tanC2＝2，即tanC＝2tanC21－tan2C2＝2×21－22＝－43.答案C11．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则△AOC的面积为()．A.25B．12C.310D．65解析依题意得，(3OA→＋5OC→)2＝(－4OB→)2,9OA→2＋25OC→2＋30OA→·OC→＝16OB→2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－35，sin∠AOC＝1－cos2∠AOC＝45，△AOC的面积为12|OA→||OC→|sin∠AOC＝25.答案A12．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是()．A．0B．12C.32D．1解析∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝|a|2，|ta－b|＝ta－b2＝|a|2t2－|a|t＋1＝|a|2t－12|a|2＋34≥32.答案C二、填空题13．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝__________.解析∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝－22＋12＝5.答案514．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有cosAcosB＝ba，则角C的大小为________．解析依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝π2，C＝π2.答案π215.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则AE→·AF→＝________.解析因为AE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋12AB→，AD→·AB→＝0，所以AE→·AF→＝(AB→＋12AD→)·(AD→＋12AB→)＝12AB→2＋12AD→2＝1.答案116．给出以下结论：①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则BC→·CA→＝20；②已知正方形ABCD的边长为1，则|AB→＋BC→＋AC→|＝22；③已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的序号为__________．解析对于①，BC→·CA→＝abcos(π－C)＝－abcosC＝－20；对于②，|AB→＋BC→＋AC→|＝|2AC→|＝2|AC→|＝22；对于③，因为AB→＝a＋5b，BD→＝BC→＋CD→＝a＋5b，所以AB→＝BD→，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．答案②③